一 比较法教学实录及点评

不等式证明——比较法

教学设计

湖北省黄石二中 李杰

一、重难点

1．理解比较法证明不等式的依据．

2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点) 3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)

二、基础·初探

（一)作差比较法

1．理论依据：①a＞b⇔ ；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔ . 2．定义：要证明a＞b，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．

例、若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(

) A．ω＞u B．ω＜u C．ω≥u D.无法确定

（二）作商比较法

1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔ ；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. 2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法．

3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

例、下列命题：

①当b＞0时，a＞b⇔＞1；②当b＞0时，a＜b⇔＜1；

③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，＞1⇔a＞b. 其中真命题是(

)

三、例题讲解

abababababab

a＋b2例1.已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：ab＞(ab)

例2.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

练习：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？

例3.已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.

小结：

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．

2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．

四、课堂练习

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s

2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(

) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不确定

ab. bb＋m3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．

aa＋m4．设a＞b＞0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y. 5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

五、归纳小结

“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．