1.3 实习作业教学设计第一课时

学生姓名

上课时间

年

级

学

科

教师姓名

数学

课

题

必修五

第一章

解三角形应用举例

预习教案

知识目标：了解正、余弦定理

教学目标

能力目标：运用正、余弦定理解决实际问题

情感态度价值观：在解决实际问题中，使学生对数学模型产生兴趣

教学过程

教师活动

[来源:Z*xx*k.Com]

学生活动

1.写出正弦定理的公式

2.写出余弦定理的公式

3.三角形的面积公式为？

4.在锐角中ABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB3b,则角A等于（

）

A．[来源:Z。xx。k.Com]

B．

C．

D．

12643

实际问题转化为数学问题的模型构建

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2R．

sinsin2sinC22、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

2222c2a2b22abcosC．

实际问题中的有关概念

(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．

[来源学科网ZXXK]

(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．

(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．

②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．

③南偏西等其他方向角类似

(4)坡度：

①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角

②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．

【题型一、测量距离问题】

【例1】

如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA

＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算3出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝2

km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

【方法技巧】

求距离问题的注意事项：

(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

【题型二、测量高度问题】

【例2 】

如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD,BDC,CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.

【方法技巧】

求解高度问题应注意：

(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；

(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；

(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．

【题型三、测量角度问题】

【例

3】

在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

【方法技巧】

解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．

1、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB

的长．

2、如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________．

3、如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ. (1)求BC的长；

(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．

[来源:学科网ZXXK]

211134、如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米222的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．

2π5、如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为3，半径OA为1

km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；

(2)当θ为何值时，观光道路最长？

6、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？

1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(

)

176

A.2海里/小时

B．346海里/小时

172C.2海里/小时

D．342海里/小时

2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(

) A．5海里

B．53海里

C．10海里

D．103海里

3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(

) A．a km

B．3a km

来源学科网Z,X,X,K] C.2a km

D．2a km

4．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(

) A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东10°

5．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为(

) A．10km

km

B.3km

C．105km

D．107D．南偏西10°

6．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为(

) A.19km

B．(6－1)km

C．(6＋1)km

科网D.7km来源学

某居民小区为了美化环境，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要________元．

2.海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10n mile的C处，现甲船以30n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20n mile的B处的乙船，甲船需要________h到达B处．

3．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两

船之间的距离是________n mile.

4.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．

(1)求sin∠CAB；

(2)求该河段的宽度．

[来源学科网]