2.2.1 综合法和分析法优质课一等奖

《综

合

法》教学设计

(普通高中课程标准实验教科书数学(选修1-2)第2章第2节)

[设计思想]

数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键．数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义．

在“综合法”的引入与推导中，本教学设计遵循学生的认识规律，运用“实验—猜想—推导—应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；这也遵循

“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的现代教育理论观点．

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．

[教学目标设计] 1知识目标：

①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；

②了解综合法解决问题的思考特点和过程；

③会用综合法证明具体的问题，并通过实例充分认识这种证明方法的特点，认识证明的重要性．

2能力目标：

①通过让学生多举命题的例子，培养他们的辨析能力；

②在整个学习过程中，培养他们的分析问题和解决问题的能力．

3情感目标：

①通过本节内容的学习，正确认识综合法在证明过程中的重要作用，养成勤于观察、认真思考的数学品质；通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．

②培养学生发现规律，寻求规律，认识规律，并用其来解决实际问题能力．

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[教学内容分析]

1教学重点

①了解综合法的思考过程、特点；

②运用综合法证明不等式、三角、向量、立体几何等方面的问题．

2教学难点

综合法的思考过程、特点．

[教学策略设计]

本节课的教学策略是以学生为主体的自主实验（学习）教学法．教师把课堂的大部分时间都留给学生，让学生通过自己的探索、观察和分析，找到问题的关键，并解决问题．并且通过反馈测评，及时了解自己的认知水平，从而及时调整学习策略．

目的是让学生通过个性化学习、合作学习，学习到适合自己的数学；同时通过网络反复地学习，从而达到教学的要求．

在以前的学习中，学生积累了较多的用综合法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，他们也没有进行过综合法这一知识的较系统的学习．由此，本节课借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳和总结综合法的特点，促使他们形成对综合的较完整的认识．

[教学过程设计] [创设情境，导入新课］

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．2.2节，我们将学习数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明．

引例：已知a,b>0,求证ab2c2bc2a24abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明．教师最后归结证明方法．

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本题条件

已知定义

已知定理

本题公理

…

本题结论

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望．以上过程引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

［探究新知］

1、综合法的定义

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法．

2、框图表示

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．

［典型例题］

1、证明不等式

例1 已知a,b,c0，且不全相等，求证

ab2c2bc2a2ca2b26abc

证明：b

2c22bc,a0

ab2c22ab

c2222cab2abc

bca2abc同理，，



ab2c2bc2a2ca2b26abc

当且仅当bc,ca,ab，即abc时，取等号．而a、b、c是不全相等的正数．

ab2c2bc2a2ca2b26abc

教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法, 自主练习，个别学生到黑板做．

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

设计意图：应用不等式证明不等式问题,同时，规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想. 2、证明有关三角问题

例2：在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边分别是a , b , c ，且

A , B , C 成等差数列，a , b , c

成等比数列．

求证：

ΔABC是等边三角形．

分析：

条件是什么？

A , B , C

成等差数列

a , b , c

成等比数列



2B = A + C 2

b = a c

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明．

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法．

设计意图：从多个角度运用所学的知识解决问题，激发学生的兴趣，使学生会主动运用所学知识解决问题．掌握用综合法证明三角问题的方法，进一步体会综合法证明数学问题的思想．

[变式训练]

在ABC中，已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，

求证：ABC为等腰或直角三角形

教师活动：老师分析题目，引导学生找到解题思路．

学生活动：自主练习，个别学生到黑板做．

设计意图：规范解题步骤，引导学生联系、思考、讨论、反馈、矫正，增强运用能力，充分体会综合法证明的方法，体会综合法证明数学问题的思想．

[小结提高]

1、

综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．

2、综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化

为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等．还要通过细致的分析，

把其中的隐含条件明确表示出来．

3、综合法可用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问第

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题．

[探究活动] 1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是

圆上不同于A，B的任一点．

求证：BC平面PAC．

2、在ABC中，设CBa,CAb,求证SABC221abab

22P C A O B 设计意图：使学生掌握综合法在向量、立体几何、解析几何等有关方面的应用

[布置作业]

课本

P46 习题2.2

A组

第2题.

[教学感想] 这节课使用计算机多媒体技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣．注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试．有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养．

对学生在探索过程中的问题采取表扬鼓励为主的评价方式，让学生能体会到学习的成就感，争取最佳的课堂教学效果．在整个教学过程中，以任务驱动具有学科特点，始终让学生处于主体地位，学生能说的，教师不应替学生说；学生能做的，教师不应替学生做；学生能思考的，教师不应替学生思考；充分相信学生，教师适时点拔引导，有效地进行归纳概括，充分展现知识的形成过程，注重学生学习能力的获得．

高二学生，已具备了一定水平证明能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力．这个阶段的学生，特别对于18、21两个文科B班的学生，还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系．

以任务驱动，以教师为主导，学生为主体，电脑为载体．以学生动手操作与实际运用相结合；以学生自学，发现问题与学生之间交流，教师讲解，形成知识相结合．

通过这节课学习，学生了解了综合法解决问题的思考特点和过程；会用综合法证明具体的问题，并通过实例充分认识这种证明方法的特点，认识到了证明的重要性，效果良好．

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