小结课堂实录【3】

第一章

统计案例（丁丽颖）

一、知识梳理

1．思维导图

2．知识梳理

一、两个基本思想

1.回归分析的基本思想

回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析，因此，回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想. 2.独立性检验的基本思想

独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认两个分类变量有关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算随机变量K2的观测值，最后由K2的观测值很大在一定程度上说明两个分类变量有关系. 二、两个重要参数

1.相关指数R2

相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好. 2.随机变量K2

随机变量K2是用来判断两个分类变量在多大程度上相关的变量.独立性检验即计算K2

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的观测值，并与教材中所给表格中的数值进行比较，从而得到两个分类变量在多大程度上相关. 三、两种重要图形

1.散点图

散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：

（1）是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；

（2）是判断样本中是否存在异常. 2.残差图

残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：

（1）是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. （2）是确认样本点在采集中是否有人为的错误. 二、误区警示

1．回归分析：

(1)回归分析是建立在两个具有相关性变量之间的一种模拟分析，因此必须先判断两变量是否具有相关性．

(2)线性回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x,y)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．

(3)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．

2．独立性检验：

(1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测．

(2)在2×2列联表中，当数据a，b，c，d都不小于5时，才可以用K2检测．

(3)独立性检验易错误理解假设检验原理，导致得到相反的结论

三、题型探究

（一）回归分析思想的应用

回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题.

例

(2015·新课标全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的

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年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

点评：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检验模型的拟合效果，从而得到最佳模型．

（二）独立性检验

独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．

例

某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数(API)的监测数据，结果统计如下：

API

空气质量

天数

[0,50]

优

4

(50,100]

(100,150]

(150,200]

(200,250]

(250,300]

>300 良

13

轻微

污染

18

轻度

污染

30

中度

污染

9

中重度污染

11

重度污染

15 若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

点评：独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．

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