复习参考题ppt专用说课稿内容

排列、组合、随机变量的分布列

总结复习练习题

一、知识回顾

⑴

分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵

排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶

排列与组合的主要公式

m1）排列数公式：Ann!n(n1)(nm1)

(m≤n)

(nm)!Ann=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.

m2）组合数公式：Cnn!n(n1)(nm1)

(m≤n). m!(nm)!m(m1)21mnmmm1mCnCnCn3）组合数性质：①Cn(m≤n)；Cn1

二、排列与组合常见的解题策略有以下几种：

①

特殊元素优先安排的策略；

②

合理分类与准确分步的策略；

③

排列、组合混合问题先选后排的策略；

④

正难则反、等价转化的策略；

⑤

相邻问题捆绑处理的策略；

⑥

不相邻问题插空处理的策略；

⑦

定序问题除法处理的策略；

⑧

分排问题直排处理的策略；

⑨

“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

⑩

构造模型的策略. 三、排列、组合典型题

（一）合理分类与准确分步的策略；

1．由数字1，2，3，4，5能够组成_______________个无重复数字的不同自然数。

2．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有

（

）

A 10种

B．20种

C．36种

D．52种

3．将4封不同的信投入3个不同的信箱,每个信箱都不空的不同投法种数为__________；

每个信箱都不空的概率为_______________ 4．将5名师范院校的毕业生分到4个学校去任教每校至少要有一名，则不同分配方法的种数为

__________ 5．（变式）将5名师范院校的毕业生分到3个学校去任教每校至少要有一名，则不同分配方法的种数为

______________ 1

6．身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相,在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮,则不同的排法种数为

(

) A.1

B.15

C

90

D.54

（二）排列、组合混合问题先选后排的策略；

1．

12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是

(

) 226A．C8

A3

B．C82A6

22

C．C8A6

22D．C8A5

（三）特殊元素、特殊的位置、特殊的要求可以优先考虑，即“优限法”

1．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有

种．（用数字作答）

2．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有_____________种。（用数字作答）

（四）相邻问题捆绑处理、不相邻问题，整体插空法处理的策略；

1．有6个座位连成一排，现有三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有

A.36种

B.48种

C

72种

D.96种

（捆绑法）

2．要排一张有6个歌曲和4个舞蹈节目的演出节目单,要求任何两个舞蹈节目不得相邻,则有________种不同的排法。

3．某人射8枪，命中4枪，命中的4枪中恰有3枪连在一起的情形的不同种数为（

）

A.720

B.480

C.224

D 20

（五）六正难则反、等价转化的策略；

1．六个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有

A

480 B．720 C．240 D．360 （

）

2．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有

(

) A.16种

B.36种

C.42种

D 60种

3．现从4名田径运动员中选出4名参加4×100米接力赛，其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒，则不同的参赛方式共有________________种。

4．现从6名田径运动员中选出4名参加4×100米接力赛，其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒，则不同的参赛方式共有________________种。

2

（六）顺序不变问题，除法处理（或逐一插空法）

1．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有

种不同的方法（用数字作答）。

2．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路

(

) A

120种

B

240种

C

480种

D. 600种

（七）隔板法

1．方程xyz10有

个正整数解；

2．从

4个小组中要抽出7人去参加社会调查，若每组至少抽出1人，则不同的抽法有

(

)

A

10种

B

15种

C. 20种

D

35种

3．将10个篮球分给6个兴趣小组，每组至少1个篮球，则不同的分配方法有

种．

（八）分排问题直排处理

1．若将9人分成两排，前四后五，有

种不同站法？

（九）构造模型的策略. 1．以一个三棱柱的顶点为顶点的四面体共有

（

）

A.12个

B.24个

C.36个

D.72个

（十）典型题

1．如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有

A、13种

B.15种

C、25种

D、10种

2．从6双不同的手套中任取4只，其中恰好有两只是一双的取法有

（

）

A.120种

B.240种

C.255种

D.300种

综合练习题

1．由1,2,3,4,5五个数字做全排列组成的数中

①

1,3,5必须连在一起的有______个;

②

2,4不相邻的有_______个; ③

2,4必须排在偶数位上的有________个. ④

2,4都不能排在万位上的有________个. ⑤

2不能排在万位上,且4不排在个位上的有____________个. 3

2．

从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为（

）

A．

10 B．

12

C

14

D．

16 3．马路上十盏路灯，为了节约用电可以关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有

（

）

A

56种

B

36种

C. 20种

D

10种

4．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

（Ⅰ）求甲答对试题数的概率分布；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

5．已知随机变量ξ的分布列为

ξ

P 1(1)求η1＝ξ的分布列；

2(2)求η2＝ξ2的分布列．

4

－2

1

12－1

1

40

1

31

1

122

1

63 1

12

6．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．

7．第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：

若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．

8．安排四名大学生到A，B，C三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．

(1)求四名大学生中恰有两人去A校支教的概率；

(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．

5

排列、组合、随机变量的分布列

总结复习练习题

参考答案

一、知识回顾

⑴

分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵

排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶

排列与组合的主要公式

n!mn(n1)(nm1)

(m≤n)

1）排列数公式：An(nm)!Ann=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.

m2）组合数公式：Cnn!n(n1)(nm1)

(m≤n). m!(nm)!m(m1)21mnmmm1mCnCnCn3）组合数性质：①Cn(m≤n)；Cn1

二、排列与组合常见的解题策略有以下几种：

①

特殊元素优先安排的策略；

②

合理分类与准确分步的策略；

③

排列、组合混合问题先选后排的策略；

④

正难则反、等价转化的策略；

⑤

相邻问题捆绑处理的策略；

⑥

不相邻问题插空处理的策略；

⑦

定序问题除法处理的策略；

⑧

分排问题直排处理的策略；

⑨

“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

⑩

构造模型的策略. 三、排列、组合典型题

（一）合理分类与准确分步的策略；

1．由数字1，2，3，4，5能够组成_______________个无重复数字的不同自然数。

2345A15A5A5A5A5325

2．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有

（

A

）

12C410

A 10种

B．20种

C．36种

D．52种

C43．将4封不同的信投入3个不同的信箱,每个信箱都不空的不同投法种数为_____36_____；每个信箱都不空的概率为______________4_。用打包法（即分组分配法）解决

94．将5名师范院校的毕业生分到4个学校去任教每校至少要有一名，则不同分配方法的种数为

_____240______。

5．将5名师范院校的毕业生分到3个学校去任教每校至少要有一名，则不同分配方法的种数为

______150________。

6．身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相,在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮,则不同的排法种数为

(

C

) 22C2A.1

B.15

C

90

D.54

C64C290

（二）排列、组合混合问题先选后排的策略；

1．

12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(

C

) 2262222A．C8

C．C8D．C8A3

B．C82A6A6

A5

2解：从后排8人中选2人共C8种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，6

2故为A6；综上知选C。

（三）特殊元素、特殊的位置、特殊的要求可以优先考虑，即“优限法”

1．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有

种．（用数字作答）

114114解：分两类：第一棒是丙有C1C2A448,第一棒是甲、乙中一人有C2C1A448

因此共有方案484896种

2．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在102月1日和2日，不同的安排方法共有_____________种。（用数字作答）A5A552400

（四）相邻问题捆绑处理、不相邻问题，整体插空法处理的策略；

1．有6个座位连成一排，现有三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有

(

C

) A.36种

B.48种

C

72种

D.96种

（捆绑法）

2．要排一张有6个歌曲和4个舞蹈节目的演出节目单,要求任何两个舞蹈节目不得相邻,则有________种不同的排法。

3．某人射8枪，命中4枪，命中的4枪中恰有3枪连在一起的情形的不同种数为

(

D

) A.720

B.480

C.224

D 20 （五）六正难则反、等价转化的策略；

1．六个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有

（

A

）

A

480 B．720 C．240 D．360 2．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有

(

D

) A.16种

B.36种

C.42种

D 60种

43460

3．现从4名田径运动员中选出4名参加4×100米接力赛，其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒，则不32同的参赛方式共有________________种。A442A3A2

4．现从6名田径运动员中选出4名参加4×100米接力赛，其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒，则不422A3同的参赛方式共有________________种。A65A4

（六）顺序不变问题，除法处理（或逐一插空法）

1．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有

种不同的方法A92C31260即C9（用数字作答）。

2971260

34A2A3A42．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路

(

D

) 5C35A5A

120种

B

240种

C

480种

D. 600种

A22（七）隔板法

1．方程xyz10有

个正整数解；

2．从

4个小组中要抽出7人去参加社会调查，若每组至少抽出1人，则不同的抽法有

( C

)

A

10种

B

15种

C. 20种

D

35种

3．将10个篮球分给6个兴趣小组，每组至少1个篮球，则不同的分配方法有

126

种．

解析：（采用隔板法）将10个球排成一排，中间有9个空，从中选出5个空插入隔板，分成6个组，5126种方法．

共有C9（八）分排问题直排处理

91．若将9人分成两排，前四后五，有

A9

种不同站法？

（九）构造模型的策略. 3312

1．以一个三棱柱的顶点为顶点的四面体共有

（

A

）C4A.12个

B.24个

C.36个

D.72个

7

（十）典型题

1．如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有（

B

）

2A、13种

B.15种

C、25种

D、10种

C6

152．从6双不同的手套中任取4只，其中恰好有两只是一双的取法有

（

B

）

22A.120种

B.240种

C.255种

D.300种

C16C52240

综合练习题

1．由1,2,3,4,5五个数字做全排列组成的数中

③

1,3,5必须连在一起的有______个;

④

2,4不相邻的有_______个; ③

2,4必须排在偶数位上的有________个. ④

2,4都不能排在万位上的有________个. ⑤

2不能排在万位上,且4不排在个位上的有____________个. 431.（1）36，（2）72

（3）12 （4）72 （5）A552A4A378；

2．

从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为

（

C ）

A．

10 B．

12

C

14

D．

16 3．马路上十盏路灯，为了节约用电可以关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有

（

C ）

A

56种

B

36种

C. 20种

D

10种

4．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

（Ⅰ）求甲答对试题数的概率分布；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：



0 1 2 3

3111p

102630

甲答对试题数的数学期望：

E013119123

3010265（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B

213C6C4C66020802

则P(A)3C10120120313C82C2C8565611214

P(B)3C1012012015

甲、乙两人考试均不合格的概率为：

214111

P(AB)P(A)P(B)(1)(1)

31531545144∴甲、乙两人至少一个合格的概率为P1P(AB)1

4545

8

5．已知随机变量ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3 －2

－1

111111P

1243126121(1)求η1＝ξ的分布列；

(2)求η2＝ξ2的分布列．

21解

(1)η1＝ξ的分布列为

2113η1

0

1

－1

－

222111111P

124312612(2)η2＝ξ2的分布列为

η2

0

1

4

9 1111P

334126．

一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．

解

设黄球的个数为n，由题意知

绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中球的总数为7n. 4n4n12n2ξ的可能取值为1，0，－1.∴P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝－1)＝＝. 7n77n77n7所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为

ξ

1

0

－1 412P

7777．第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：

若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm

以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．

解

(1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率51是＝，

30611所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．

66－用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－C23773. 2＝1－＝.因此，至少有1人是“高个子”的概率是C5101010(2)依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则

21C314C1C212C3184C8284C84P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝. C1255C1255C1255C1255因此，ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3 1428121P

55555555

9

8．安排四名大学生到A，B，C三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．

(1) 求四名大学生中恰有两人去A校支教的概率；

(2) 设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．

解

(1)所有可能的方式有34种，恰有2人到A校的方式有C222种，

4·C22284·从而恰有2人到A校支教的概率为4＝. 327(2)ξ的所有可能值为1，2，3. 4C2313（2－2）14又P(ξ＝1)＝4＝，

P(ξ＝2)＝＝，

327342712123C3C4C24C4A34P(ξ＝3)＝＝(或P(ξ＝3)＝4＝)．

43939综上可知，ξ的分布列如下表：

ξ

1

2

3 1144P

27279

10