小结课件配套优秀

日喀则市第二高级中学

第三章不等式部分小结课

一、思维导图

二、直击典型考法

典型考法1 不等式的性质

x2x3典型题：设实数x, y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 。

yy2【解析】

x23xy8，49y2111x222,16()818xy3y1x3x22112164()28127

8yyxy3x34的最大值是27y【答案】 27 典型考法2 一元二次不等式

2典型 题：已知不等式log2(ax－3x＋6)>2的解集是{x|x<1或x>b}．

(1)求a，b的值；

1

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c－x(2)解不等式>0(c为常数)．

ax＋b解析：(1)不等式log2(ax－3x＋6)>2⇔ax－3x＋2>0，

由已知，该不等式的解集是{x|x<1或x>b}．

31＋b＝a∴21·b＝a22

a＝1，解得b＝2

. c－xc－x(2)当a＝1，b＝2时，不等式>0变为>0. ax＋bx＋2x－c∴<0，即(x－c)(x＋2)<0. x＋2∴当c<－2时，解集为(c，－2)；当c＝－2时，解集为空集；当c>－2时，解集为(－2，c)．

典型考法3 简单的线性规划

x＋y≤1，典型题： 设变量x，y满足x－y≤1，x≥0，

则x＋2y的最大值和最小值分别为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 【解析】

画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u＝x＋2y经过A(0,1)，C(0，－1)时分别对应u的最大值和最小值．故umax＝2，umin＝－2.

答案 B 典型考法4 基本不等式

2211典型题：

设x，y∈R，且xy≠0，则x＋22＋4y的最小值为________．

yx1221122【解析】

方法一：x＋22＋4y＝1＋4xy＋22＋4≥5＋2yxxy4xy＝221224xy×22＝9，当且仅当xy122时，“＝”成立．

xyx2＋1212＋4y2≥x×1＋1×2y2＝9，当且仅当4x2y2＝1时，方法二：利用柯西不等式：xy22yxyx等号成立．

答案 9 典型考法5 不等式的实际应用

2

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典型题：

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示12为y＝x－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

2 (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【解析】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

y180000＝x＋－200≥2x2x180000x·－200＝200，

2x180000当且仅当x＝，即x＝400时，

2x才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元. (2)设该单位每月获利为S，

12则S＝100x－y＝100x－x－200x＋80000＝

212－x＋300x－80000，

2若S>0，则x－600x＋160000<0，其判别式600－4×160000<0，该不等式无解，故该单位每月不能获利．

12又S＝100x－y＝－(x－300)－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值2－40000. 故需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．

三、专题归纳

1．不等式与函数、方程的综合应用

不等式的性质是证明不等式、解不等式、求函数定义域等问题必须遵循的依据，必须牢固掌握并会进行推导．

不等式的解法是高考必考内容，要熟练掌握简单不等式的解法，特别是一元二次不等式的解法，同时兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识．

利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布及相关的不等式问题．

mx＋8x＋n 1、已知函数f(x)＝log3的定义域为R，值域为[0,2]，求m，n的值．

2x＋1mx＋8x＋n解析：

令y＝，

2x＋1∵函数f(x)的定义域为R，

∴对任意实数x∈R，y＞0恒成立，

2即mx＋8x＋n＞0恒成立．

当m＝0时，不等式化为8x＞－n，不可能恒成立；

22223

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m＞0，当m≠0时，必须有Δ＝64－4mn＜0，m＞0，即mn＞16.2

mx＋8x＋n2由y＝得(m－y)x＋8x＋(n－y)＝0. 2x＋1∵x∈R，

2∴Δ＝8－4(m－y)(n－y)≥0，

2即y－(m＋n)y＋mn－16≤0①

由题意知f(x)∈[0,2]，则y∈[1,9]．

即关于y的不等式①的解集为[1,9]．

m＋n＝∴mn－16＝9

m＝，∴n＝5

. m＞此时满足mn＞16

. 故所求m＝5，n＝5.

2、不等式恒成立问题

不等式恒成立，求参数的取值范围，一般有三种常用方法：

(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x))，从而转化成f(x)求最值．

(2)如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)≥f(k)(或g(x)≤f(k))，则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式．

(3)若不等式对于x，参数都是二次的，则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0，求解．

2、设f(x)＝mx2－mx－6＋m. (1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．

2解析： (1)依题意，设g(m)＝(x－x＋1)m－6，

则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数

1232x－x＋1＝x－＋＞0，

24∴g(m)在[－2,2]上递增．

∴欲使f(x)＜0恒成立，

2需g(m)max＝g(2)＝2(x－x＋1)－6＜0，

解得x的取值范围为－1＜x＜2. 62(2)要使f(x)＝m(x－x＋1)－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，则有m＜2在x∈[1,3]上x－x＋1恒成立．

4

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6而当x∈[1,3]时，2＝x－x＋1∴m＜66≥. 1237x－2＋426＝6，

min7x－x＋16∴m＜. 73、，简单的线性规划问题

线性规划问题是高考的热点问题．主要考查平面区域的表示，用图解法解决

线性规划问题，应以课本为主，要善于把二元一次不等式组用平面区域表示出来；还要善于把其他的不等式组转化为二元不等式组，然后利用“直线定界、原点定域”，作出线性区域．掌握从实际问题中抽象出线性规划模型的方法和技巧

求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数．二是作出可行域．三是在可行域内求目标函数的最优解．特别注意目标函数z＝ax＋by＋c在直线ax＋by＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点．

3、[·福建卷] 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. 31(1)若点P的坐标为，，求f(θ)的值；

22x＋y≥1，(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：x≤1，y≤1并求函数f(θ)的最小值和最大值．

3sinθ＝，2解析：(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得1cosθ＝.2于是f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×31＋＝2. 22

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，

(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．

π于是0≤θ≤. 2πππ2π又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋，且≤θ＋≤，

66635

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πππ故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；

623ππ当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 664、用基本不等式求最值问题

基本不等式是每年高考的热点，但严格限制在两个以下．应用基本不等式求

最值或证明不等式时应注意“一正、二定、三相等”的条件．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．

基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2ab(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”a＋b2求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一问题，用ab≤2正、二定、三相等”

若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．

4、设函数f(x)＝x＋2，x∈[0，＋∞)．求函数f(x)的最小值．

x＋122解析： f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1. x＋1x＋122∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0，＞0，∴x＋1＋≥22. x＋1x＋12当且仅当x＋1＝，即x＝2－1时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝22－1. x＋1

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