数学活动第二课时教案

数学活动

——利用双曲线探索数量关系

一、活动目标

（1）通过活动感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系. （2）通过活动建立反比例函数模型，解释杠杆平衡原理. 二、重、难点

重点：两个活动. 难点：第二个活动. 三、活动过程

（一）问题导入：

问题1：矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？

问题2：如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？

（二）活动探究

活动一：探索矩形顶点的运动轨迹

1.活动指导

（1）活动内容：教材P19活动1：探索矩形顶点的运动轨迹. （2）活动时间：10分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲：

①下表是10个面积相等的矩形的长与宽，请补齐表格.

②设∠A为这10个矩形的公共角，在下面的坐标系中画出这10个矩形(假设每个小正方形的边长都是1 cm，矩形的长对应横坐标，宽对应纵坐标)，然后取∠A的10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？(是，它是双曲线的一支.)

③如图，过y=k的图象上任意一点P作两坐标轴的垂线段,则图中矩形的面x积S是定值吗？是多少？（是，k）

第③题图

第④题图

④如图，过y=

k的图象上任意一点P作某一坐标轴的垂线段，则图中三角x形的面积为Sk. 22.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.活动巡视指导：

①明了学情：了解学生是否会画图. ②差异指导：把全班学生分成4个组，依次以图中网格的四个角处的格点为∠A的顶点，分别画图. 4.小组内互相交流. 5.小结强化

（1）把面积为定值的矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，这个对角顶点的运动轨迹是反比例函数图象的一支.

（2）反比例函数的k的几何意义. 活动二：探索力与力到支点距离的关系

1.活动指导

（1）活动内容：教材P19活动2：探索力与力到支点距离的关系.

（2）活动时间：10分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲：

①如图，取一根长100 cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧距离中点O 25 cm处挂一个重9.8 N的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化，并填写下表：

②以L的数值为横坐标，以F的数值为纵坐标建立直角坐标系，在坐标系内描出以上表中的数对为坐标的各点，用平滑曲线连接这些点；

③这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？点（50，4.9）在这条曲线上吗？

是，因为它是双曲线的一支，点（50,4.9）在这条曲线上. 2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.活动巡查指导：

①明了学情：看学生是否能顺利完成实验，关注学生处理实验误差的能力. ②差异指导：学生4人一组分组实验收集数据，然后各自完成后续活动任务.

4.小组内互相交流. 5.小结强化：弹簧秤的示数F与它到点O的距离L成反比. 三、评价

1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？

2.教师对学生的评价：

3.教师的自我评价（教学反思）. 课堂练习

一、基础巩固

1.如图是反比例函数y=积为2，则k=-

k在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面x

第1题图

第2题图

2.如图，若点A在反比例函数y=的面积为3，则k=-

3.如图：李老师家有个边长为4米的正方形院子AOBC，他想在院子里修建一个矩形水池DOEF，水池一面DO靠墙AO，另一面OE靠墙OB，设OD=x（米），OE=y（米）. k(k≠0)的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMOx

（1）若矩形水池的面积为2平方米，则y与x的函数关系式为：

，在图中画出能建水池的F点的位置,并用l1标记；

（2）若周长为6米（包含两边靠墙的地方），则y与x的关系式为

，在图中画出满足条件的水池一角F的所有位置,并用l2标记；

（3）有没有同时满足条件（1）（2）的水池?若有请帮忙找出这一点，并在

图中画出来；若没有，请说明理由. 4.如图1，张老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况．实验数据记录如下表：

（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，描在如图2所示的坐标系中，并用平滑的曲线将这些点连接起来；

（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系；

（3）当砝码的质量为50 g时，活动托盘B与点O的距离是多少？

（4）当活动托盘B往右移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？

二、综合应用

5.如图1，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：

（1）

把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2所示的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当弹簧测力计的示数为24N时，弹簧测力计与点O的距离是多少厘米？随着弹簧测力计与O点的距离不断减小，弹簧测力计的示数将发生怎样的变化？