利用平均数、中位数、众数、方差等解决问题教学目标设计

6.4数据的离散程度（第2课时）

教学目标

知识技能

能够用极差、方差统计、分析生活中的简单问题.

过程与方法

通过实际问题的解释,培养学生解决问题的能力.

情感态度与价值观

培养学生严谨认真、实事求是的科学态度.

教学重难点

【重点】

用方差等概念解释统计过程中反映出的问题.

【难点】

在具体情况下,具体分析方差对问题的影响.

教学准备

【教师准备】

教材图6-7的投影片.

【学生准备】

复习极差、方差、标准差的定义.

教学过程

1.新课导入

导入一:

[过渡语]

上一节课我们学习了什么是极差、方差和标准差,哪位同学能说说. 生1:一组数据中最大数据与最小数据的差称为极差.

生2:方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.

生3:标准差是方差的算术平方根.

师:方差的计算公式是什么?

生:s=2

(x1-

)+(x2-

)+…+(xn-

)222.

师:一组数据的极差、方差或标准差与这组数据的波动有怎样的关系?

生:一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.

师:已知一个样本1,3,2,3,1,则这个样本的方差和标准差分别是多少?

生:(学生利用公式计算后)方差是0.8,标准差约等于0.89.

总结:通过前面的学习,我们知道在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们还往往关注数据的离散程度.本节课让我们共同继续学习极差、方差和标准差在生活中的运用.(板书课题)

[设计意图]

回顾极差、方差和标准差的相关知识以及计算,唤醒旧知识,为学生新课的学习做好铺垫,引发进一步学习新知识的欲望.

导入二:

1.已知一组数据5,8,10,x,9的众数是8,那么这组数据的方差是

.

2.人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验,班级平均分和方差如下:平均分都为110,甲、乙两班的方差分别为340,280,则成绩较为稳定的班级为

(

)

A.甲班

B.乙班

(

)

C.两班成绩一样稳定

D.无法确定

3.已知一组数据:15,13,15,16,17,16,14,15,则这组数据的极差与众数分别是

A.4,15 B.3,15 C.4,16 D.3,16 4.一组数据13,14,15,16,17的标准差是(

)

A.

B.10 C.0 D.2 [处理方式]

学生独立完成,然后回答和反馈信息,针对出现的问题,学生讨论交流,教师做适当的点评.

[设计意图]

复习极差、方差、标准差等概念及计算,巩固学生对刻画数据离散程度的三个统计量的认识.

2.新知构建

[过渡语]

研究数据的离散程度,可以帮助我们解决、分析生活中一些带有决策性的问题.一、根据统计图感受数据的稳定性

思路一

利用数据的离散程度来分析问题:

如图所示的是某一天A,B两地的气温变化图,请回答下列问题:

(1)这一天A,B两地的平均气温分别是多少?

(2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少?B地呢?

(3)A,B两地的气候各有什么特点?

[处理方式]

由于读取的数据多且复杂,引导学生利用计算器来高效完成,提高运算的速度和效果.引导学生从图形中比较两组数据的稳定性和数据得出的结论有何关联.学生讨论交流,小组合作共同解决问题.

[设计意图]

通过两地气温的变化的例子,培养学生从图表中读取信息、分析数据的能力,更准确地理解方差及其在现实生活中的应用.

思路二

多媒体出示:某日,A,B两地的气温如下图所示:

(1)这一天A,B两地的平均气温分别是多少?

(2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少?B地呢?

(3)A,B两地气候各有什么特点?

[处理方式]

此环节放手让学生小组交流发现的问题,并进行解决,教师可关注有问题的小组的讨论过程,并适时予以指导和点拨.

展示学习成果:

(1)小组代表1:从A,B两地的气温变化图可读取数据如下表:

时刻

1 2 3 4 5 6 7 8 A

B

A

18 17.5 17 16 16.5 18 19 20.5 20 19.5 19 18 19 19.5 20.5 22 10 11 12 13 14 15 16 22 23 23.5 24 25 25.5 24.5 23 时刻

9 B

22.5 23 23 23.5 24 24 23 22.5 时刻

17 18 19 20 21 22 23 24 A

所以A地平均气温为:

22 20.5 20 19.5 19.5 19 18.5 18 B

22.5 22 21.5 21 21.5 20.5 20.5 20

×(18+17.5+17+16+16.5+18+19+20.5+22+23+23.5+24+25+25.5+24.5+23+22+20.5+20+19.5+19.5+19+18. 5+18)=×490≈20.4(℃).

同样可得B地的平均气温为

≈21.4 ℃.

(2)小组代表2:A地这一天的最高气温是25.5 ℃,最低气温是16 ℃,极差是25.5-16=9.5(℃).

B地这一天的最高气温是24 ℃,最低气温是18 ℃,极差是24 ℃-18 ℃=6(℃).

方差分别为

≈7.763889,

≈2.780816,所以

.

(3)小组代表3:通过计算,我们发现A,B两地的平均气温比较接近,

A地:早晨和深夜较凉,而中午比较热;日温差较大.

B地:一天气温相差不大,而且比较平缓,日温差较小.

[设计意图]

通过两地气温的变化的例子,培养学生从图表中读取数据的能力,更准确地理解方差及其在现实生活中的应用.

二、利用数据的稳定性做出决策

[过渡语]

我们知道,一组数据的方差越小,这组数据就越稳定,那么是不是方差越小就表示这组数据越好呢? 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中,他们的成绩(单位:cm)如下:

甲:585

596

610

598

612

597

604

600

613

601 乙:613

618

580

574

618

593

585

590

598

624 (1)甲、乙的平均成绩分别是多少?

(2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少?

(3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点?

(4)历届比赛表明,成绩达到5.96 m就很可能夺冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?

(5)如果历届比赛成绩表明,成绩达到6.10 m就能打破纪录,那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛?

[处理方式]

分小组进行讨论,小组之间交流,教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组学生分别独立作答,师生共同补充完善.

展示小组学习成果:

(1)小组代表1:甲、乙两人的平均成绩为:

甲

×(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601.6(cm);

×(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599.3(cm).

乙(2)小组代表2:利用计算器可得:

=65.84,

=284.21,所以

.

甲乙甲乙(3)小组代表3:由上面的计算结果可知:甲的成绩比较稳定,因为其方差比较小;乙比较有潜力,因为乙的最好成绩比甲好些.

(4)小组代表4:由历届比赛成绩表明,成绩达到5.96 m很可能夺冠.从平均成绩分析可知,甲、乙两名运动员都有夺冠的可能.但由方差分析可知,甲成绩比较平稳,夺冠的可能性比乙大.在10次比赛中,甲有9次成绩都达到596 cm,而乙仅有5次.因此要想夺冠应选甲运动员参加这项比赛.

(5)小组代表5:由历届比赛成绩表明,成绩达到6.10 m就能打破纪录,因此,要打破纪录,成绩就要比较突出,在10次比赛中,乙有4次成绩都达到610 cm,而甲仅有3次,因此要想打破纪录应选乙运动员参加这项比赛.

注:学生对两名运动员特点的回答呈多样性,如甲较稳定,乙有潜力等,对于第(4)题的回答则有不同的意见,经仔细分析后,最终统一了认识,不再认为方差越小就表示这组数据越好,而是认为方差越小表示这组数据越稳定,至于数据的好坏,则要根据具体的情况进行具体分析.

[设计意图]

针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识,设计一个现实生活中的例子,旨在消除学生的这种不正确的认识,体会数据的波动是极其广泛的.

三、感受生活中的稳定性

1.两人一组在安静的环境中估计1 min的时间,一人估计,另一人记下实际时间,将结果记录下来.

2.在吵闹的环境中,再做一次这样的实验.

3.将全班收集的数据结果汇总起来,分别计算安静环境和吵闹环境下估计结果的平均值和方差.

4.两种情况下的结果是否一致?说说你的理由.

[活动方式]教师在黑板上列出表格,将两种情况下的结果按顺序记入表格中,组织学生用计算器算出平均值和方差,根据结果回答第4个问题.

[设计意图]

力图让学生再次经历数据的收集和分析的过程,同时培养学生的估计能力,并体会环境对个人心理状态的影响.

3.课堂小结

1.极差的应用多在统计图中考查,要能够准确分析统计图中的量,根据问题进行解答,折线统计图一般能判断数据的稳定性.

2.利用方差的大小判断数据稳定性的步骤:

①先计算数据的平均数;

②计算方差;

③根据方差大小作出判断.

4.检测反馈

1.方差是指各个数据与平均数差的平方的

.

答案:平均数

2.数据1,6,3,9,8的方差是

.

答案:9.04 3.甲、乙两机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水,从甲、乙罐装的矿泉水中分别抽取了30瓶,测算它们实际质量的方差是:

=4.8,

=3.6,那么

罐装的矿泉水质量比较稳定.(填“甲”或“乙”)

甲乙答案:乙

4.小明准备参加学校运动会的跳远比赛,下面是他近期六次跳远的成绩(单位:米):3.6,3.8,4.2,4.0,3.8,4.0,那么这组数据的

(

)

A.众数是3.9米

B.中位数是3.8米

C.极差是0.6米

D.平均数是4.0米

答案:C 5.小明和小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分),数学老师想判断这两位同学谁的数学成绩更稳定,在作统计分析时,老师需比较这两人5次数学成绩的

A.平均数

B.方差

答案:B C.众数

D.中位数

(

)

5.板书设计

第2课时

1.根据统计图感受数据的稳定性

2.利用数据的稳定性做出决策

3.感受生活中的稳定性

6.布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第155页习题6.6第1,2题.

【选做题】

教材第156页习题6.6第4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.用计算器进行统计计算时,在输入数据过程中如发现刚输入的数据有误,应按

键清除.

2.在一次科技知识竞赛中,两组学生成绩统计如下:

分数/分

甲组人数

乙组人数

用计算器计算:

(1)哪组平均成绩较高;

(2)哪组成绩波动较小.

【能力提升】

3.我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛,高、初中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛,两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.

50 60 70 80 90 100 2 4 5 10 13 14 6 4 16 2 12 12

(1)根据图示填写下表:

初中部

高中部

平均数

85 中位数

85

众数

100 (2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;

(3)计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.

【拓展探究】

4.某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛,在最近的五次选拔测试中,他俩的成绩分别如下表:

根据上表解答下列问题:

(1)完成下表:

姓名

极差

平均成绩

中位数

众数

方差

小王

小李

五次测试中的优秀率各是多少?

(3)历届比赛表明,成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖,成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖,那么你认为应选谁参加比赛比较合适?说明你的理由.

【答案与解析】

1.DEL 2.解:(1)

=80分,

=80分.两组平均成绩相等.

(2)

=172,

=256,∵

,∴甲组成绩波动较小.

甲乙甲乙甲乙40

80

75

75

190

(2)在这五次测试中,成绩比较稳定的同学是谁?若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀,则小王、小李在这3.解:(1)从左到右、从上到下依次填85,85,80.

(2)初中代表队的成绩较好.因为两个队成绩的平均数相同,初中代表队成绩的中位数高,所以在平均数相同的情况下中位数高的初中代表队的成绩较好.

(3)初中代表队决赛成绩的方差为[(75-85)+(80-85)+(85-85)+(85-85)+(100-85)]=70,高中代表队决赛成绩的方差为22222

22222[(70-85)+(100-85)+(100-85)+(75-85)+(80-85)]=160,因为

70<160,因此初中代表队选手成绩较为稳定.

4.解:(1)20

80

80

80

40

(2)在这五次测试中,成绩比较稳定的是小李,小王的优秀率为40%,小李的优秀率为80%.

(3)(答案不唯一)方案一:我选小李去参加比赛,因为小李的优秀率高,有4次80分以上(含80分),成绩比较稳定,获奖机会大;方案二:我选小王去参加比赛,因为小王的成绩获得一等奖的概率较高,有2次90分以上(含90分),因此有可能获得一等奖.

教学反思

成功之处

本课时是本章统计知识的综合运用,在教学过程中围绕“不同的统计方法,不同的数据要求,就会有不同的统计结论”这一思想展开.这种思想有助于加深学生对数学知识的应用意识,也有助于学生灵活运用知识.

不足之处

课时教学中对引例的处理比较简单,借此没有

充分进行知识复习,对学习基础较差的同学,在后续问题的探讨中容易出现知识性障碍.