回顾与思考教学实录及点评

第3节

勾股定理的应用

1．能正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题．

2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

3．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，渗透数学建模的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

重点

探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题．

难点

解决问题时，利用数学中的建模思想构造直角三角形．

一、情境导入

师：我们知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射了很多信号．我国数学家华罗庚曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”，由此可见勾股定理非常重要．那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们走进勾股定理的世界，一起用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！(板书课题) 二、探究新知

勾股定理的应用．

师：下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用．

课件出示教材第13页“做一做”上面的题目．

学生活动：学生分为2人一组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．

让学生发现：圆柱沿高剪开后，侧面展开图是矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”，就是研究两点连线最短问题．引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．

师：怎样计算AB的长度？

生：需构造直角三角形，利用勾股定理解题．

解：将圆柱的侧面沿高展开，知AB即为最短路径，设直角顶点为点C，其中AC＝12 cm，

BC1＝×18＝9 cm. 2在Rt△ABC中，有

22222AC＋BC＝12＋9＝225＝AB，

所以AB＝15 cm. 故最短路程是15 cm. 总结：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．

三、举例分析

课件出示教材第13页“做一做”．

先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，

或以A为端点在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．

通过这两种类型的题目，总结应用勾股定理及其逆定理解决实际问题的区别：勾股定理应用于直角三角形中求线段的长度，甚至是图形周长或面积；勾股定理的逆定理应用于由三角形三边的数量关系判断三角形的形状．

四、练习巩固

课件出示教材第15页习题1.4第5题．

分析：这题学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．

总结：方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．

五、小结

1．用勾股定理解决实际问题的具体步骤：

(1)审题，分析实际问题；(2)建立相应的数学模型；

(3)运用勾股定理计算；(4)检验是否符合实际问题的真实性．

2．数学思想：转化思想，方程思想，数形结合思想．

六、课外作业

教材第14页习题1.4第1，2，3，4题．

本节课通过3个例题来探讨如何利用勾股定理解决实际问题．首先安排了一个最短路径问题，用蚂蚁要走过最短距离吃美食的有趣实例，引导学生把看似复杂的问题转化为用勾股定理解决，从而提高学生应用数学的能力；接着安排了判断雕塑的边是否垂直的问题，用勾股定理逆定理由三边的数量关系判断角的大小，并加以延伸，把问题拓展，充分拓展学生的思维，体会同一个问题的不同解决方法；最后一个是古代著名数学问题，让学生体会代数中的方程也可以解决几何问题，体现了方程思想和数形结合思想．