2.3.2 圆的一般方程主要内容及教案内容

《圆的一般方程》教学设计

●教学目标

1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；

2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；

3．进一步熟悉并掌握待定系数法. ●教学重点

圆的一般方程应用

●教学难点

待定系数法

教学过程

一、设置情境：

1、求下列各圆的标准方程

⑴圆心在直线y＝－x上，且过两点(2,0),(0,－4)；

⑵圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0相切于点(2，－1)；

⑶圆心在直线5x－3y＝8上，且与坐标轴相切。

222222⑴(x－3)＋(y＋3)＝10；⑵(x－1)＋(y＋2)＝2；⑶(x－4)＋(y－4)＝16 222、已知圆x＋y＝25，求：

⑴过点A(4，－3)的切线方程；

4x－3y－25＝0 ⑵过点B(－5，2)的切线方程。

21x－20y＋145＝0或x＝－5 2、圆的标准方程及其应用回顾：

(x―a)2＋(y―b)2＝r2

其中圆心坐标为（a,b），半径为r 变形圆的标准方程

x2＋y2―2ax―2by＋a2＋b2－r2＝0 由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

①

反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。

将①的左边配方，整理得

(xD2)2(yE2)2D2E424F

②

⑴当D2+E2－4F＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为12D2E24F的圆；

⑵当D2+E2－4F＝0时，方程①只有实数解x＝―D/2,y＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)；

⑶当D2+E2－4F＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

二、解决问题

1、圆的一般方程：

x2

+ y2

+ Dx + Ey + F = 0(D2+E2－4F＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为12D2E24F。

2、二元二次方程表示圆的充要条件：

由二元二次方程的一般形式：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 和圆的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的系数比较，

（1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C≠0；

（2）没有xy项，即B=0；

（3）D2+E2－4AF＞0. 练习：

1、下列方程各表示什么图形？

⑴x2 + y2 = 0

⑵x2 + y2

－2x + 4y －6 = 0

⑶x2 + y2 + 2ax－b2 = 0 2、求下列各圆的圆心与半径

⑴x2 + y2

－6y = 0

⑵x2 + y2 + 2by = 0

⑶x2 + y2

－4x + 6y －12= 0 三、反思应用

例1 求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标. 解：设所求圆的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、

因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得

F0D8DEF20

解得E6

4D2EF200F0于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0 化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52

所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）

说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径. 例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合. P{M||OM||AM|12}.

由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为x2y22212，

①

(x3)y将①式两边平方，得x2y222(x3)y14

化简得x2+y2+2x－3=0

②

化为标准形式得：(x+1)2+y2 = 4 所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7—35所示.

例3

求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则

又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|＝3 ∴D＝±3，当D＝3时，E＝－5，F＝0；当D＝－3时，E＝1，F＝0 故所求的圆的方程为：x2 + y2 + 3x －5y = 0或x2 + y2

－3x ＋y = 0 ●课堂小结

圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程. ●课后作业

习题7.7

5，6，7，8