一 数学归纳法优秀教学设计

人教A版选修4-5不等式选讲

数学归纳法证明不等式 河北省遵化市第一中学 段连会

教学目标

1.知识与技能

(1).了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；

(2). 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

2.过程与方法

经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法

3.情感态度与价值观

通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学归纳法使有限和无限间实现了平衡的科学意义。

教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。

教学过程：

一、新课引入：

笑话1：

妈妈：“火柴买回来了吗？”

儿子：“买回来了。”

妈妈：“火柴好用吗？”

儿子：“很好，我每一根都试过，全部划得着。” 完全归纳法

考察全体对象，得到一般结论的推理方法

结论一定可靠

笑话2：

财主为儿子请了一个私塾先生。这天先生划了一横告诉孩子这是“一”，先生划了两横告诉孩子这是“二”，先生划了三横告诉孩子这是“三”。这时财主和他的笨儿子高兴地说，原来认字就这么简单，就把教书先生打发走了。过几天笨财主要请一个姓万的财主来家里吃饭，就叫儿子去写请柬。过了好长时间还不见笨儿子来，财主就去看，发现儿子正趴在桌子上划道道呢。儿子回答说：“这个人姓啥不好，偏要姓万。快了，已经到八千多了。”

不完全归纳法

考察部分对象，得到一般结论的推理方法

1

结论不一定可靠

设计意图：通过两则笑话引出完全归纳法，不完全归纳法

思考：

已知： －1＋3= 2 －1＋3－5= －3 －1＋3－5＋7= 4 －1+3－5＋7－9=－5 可猜想：

－1+3－5＋

…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n 提问：这里用了什么归纳法？结论一定对吗？

不完全归纳法 结论不一定可靠

归纳法

完全归纳法

不完全归纳穷举法

数学归纳法

教师总结：（1）完全归纳法虽然结论可靠，但一一核对困难。

（2）不完全归纳法虽然有利于发现问题，但结论不一定正确。

教师提问：

如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

必须寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法。 搜索生活实例

揭示数学原理

“多米诺骨牌”游戏动画演示（视频播放）

设计意图：寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法

思考：假若有无数个多米诺骨牌，如何保证能全部倒下？

2

第一块骨牌倒下

任意相邻的两张牌，前一张倒下一定导致后一张牌倒下，即假设第k张倒下，则第k+1张也倒下

学生分组讨论

探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件是什么？

1、第一块推倒 2、假设第k块倒下，则导致第k+1块倒下

第一块骨牌倒下

类比多米诺骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长的一队，1,2,3,4，…,k,k+1 可以验证（1）n=1等式成立

（2）若n=k等式成立能推出n=k+1等式也成立，则可以建立一种像推多米诺骨牌那样的“由前到后”的自动递推关系。

设计意图：让学生深刻理解数学归纳法

证明一个与正整数有关的命题

1、证明n取第一个值n=n0(n0∈N+)时命题成立

2、假设当n＝k (k∈N *, k≥n0 ) 时命题成立, 证明当n＝k＋1时命题也成立．

这种证明方法叫做数学归纳法

学生回答

数学归纳法的适用范围？

证明一个与正整数有关的命题

探索发现 生活事例1：放鞭炮

生活事例2：从纸巾盒中抽纸. 一.用数学归纳法证明等式问题

学生思考，教师引导启发

例1：用数学归纳法证明：

当n∈N时，－1+3－5＋

…＋（－1）（2n－1）＝（－1） n （*） 证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1, ∴左边=右边, ∴

当n=1时，式（*）成立

(2)假设当n=k时，式（*）成立，

3 +nn

即 －1+3－5＋

…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k 当n=k+1时

等式左边＝

－1+3－5＋

…＋（－1）k（2k－1）

＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1] ＝（－1）k k＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1] ＝（－1）k＋1 [－k＋2(k+1)－1] ＝

（－1）k＋1 (k+1)＝右边

所以当n=k+1时等式（*）成立。

由（1）（2）可知，

－1+3－5＋

…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n 设计意图：让学生充分数学归纳法的概念，掌握如何证明与自然数有关的命题。学生分组讨论

变式.用数学归纳法证明：

122232...n2n(n1)(2n1)证明：（1）当n=1时，左边=1右边=1等式成立

6(2)假设当n=k时等式成立,即

122232k2k(k1)(2k1)那么,当n=k+1时

6122232k2(k1)2

k(k1)(2k1)(k1)2k(k

61)(2k1)6(k1)26

(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)

66

(k1)[(k1)1][2(k1)1]

6即当n=k+1等式也成立

根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立. 设计意图：加深理解数学归纳法的概念

学生总结：

数学归纳法主要步骤: 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。

主要有两个步骤、一个结论: 第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确

4

第二步：假设n=k (k∈N

，

且k≥ n0)时结论正确，

证明n=k+1时结论也正确

结论：由（1）、（2）得出结论正确

二.用数学归纳法证明整除问题

学生思考

3例

2 证明:n5n(nN)能够被6整除.＋证明:(1)当n1时,n35n6显然能够被6整除,命题成立.

(2)假设当nk(k1)时,命题成立,即k35k能够被6整除.当nk1时,(k1)35(k1)k33k23k15k5 (k35k)3k(k1)6由假设知k35k能够被6整除,而k(k1)是偶数,故3k(k1)能够被6整除,从而(k1)35(k1)能够被6整除,因此,当nk1时命题成立.由(1),(2)知,命题对一切正整数成立,即n35n(nN)能够被6整除.设计意图：加深理解数学归纳法的概念

特别提示: 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”, 在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件. 学生分组讨论

变式：

用数学归纳法证明：

1x2n1y2n（nN)能被xy整除

证明：（1）当n1时,左边xy,右边xy,结论显然成立

（2）假设当nk时结论成立，即x2k1y2k1能被xy整除，则当nk1时，x2k1y2k1x2x2k1y2y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1x2k1y2k1也能被xy整除故当nk1时结论也成立由（1）（2）可知，对于任意的nN,x2n1y2n1能被xy整除

5

设计意图：如何用数学归纳法证明整除问题

学生测验

课堂小测

1.用数学归纳法证明：

n1n2nn2n132n1,nN在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是_2_____ 2.如下用数学归纳法证明对吗？

1＋1111

222＋23＋＋2n1-(2)n1证明：①当n=1时，左边＝ 2右边＝1

1122

等式成立。

11111②假设n=k时等式成立，有

2＋22＋23＋＋2k1-(2)k

1那么，当n=k+1时，有

1[1(1)k1]212211221k12k2k111（2）即n=k+1时，命题成立。

12根据①②可知，对n∈N＋，等式成立

学生回答

分析

第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明

既然不对，如何改正？ 1212111112232k2k11(2)k2k1

12(1)k11122k11(2)k1

设计意图：加深理解数学归纳法的概念。

学生归纳总结 数学归纳法

两个步骤一结论，

递推基础不可少，

归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉；

6

课堂小结：

这节课你学到了什么？

一个方法：数学归纳法（两个步骤，一个小结）

一个思想：递推思想

三点注意：

递推基础不可少，

归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉； 作业：

（1）课本作业 P50. 习题4. 1 1，2 (2）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立

7