3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀教学设计范文

3.2.2复数代数形式的乘除运算

一、

教学目标：

1. 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

2. 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

二、

教学重点：复数代数形式的除法运算

三、

教学难点：对复数除法法则的运用

引入一：

实数能进行加、减、乘、除运算，上节课学习了复数的加减法，那么复数能进行乘除运算吗？

运算规则：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i

(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i

222cdcd运算律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 引入二：

多项式的乘法运算

？(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 由多项式的乘法法则，我们可以类比出复数的乘法法则吗？

我们规定，复数的乘法法则如下：

设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，

那么它们的积：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i 四、

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

五、

教学过程：

学生探究过程：

21.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即

i1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1,

i4n+3=-i,

i4n=1

4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；

当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.

复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10.

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

讲解新课：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i)2.

解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z。

4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+biabi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者cdi

5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.

cxdya,dxcyb.

由复数相等定义可知acbdx,22cdybcad.c2d2

解这个方程组，得acbdbcad2222cdcd于是有:(a+bi)÷(c+di)=

i. abi②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将cdi的分母有理化得：

abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i22cdi(cdi)(cdi)cd原式=

(acbd)(bcad)iacbdbcad22i2222cdcdcd. acbdbcad2i222cd. ∴(a+bi)÷(c+di)=cd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i34i

(12i)(34i)386i4i510i12i22(34i)(34i)342555

(14i)(1i)24i34i例4计算

(14i)(1i)24i143i24i7i(7i)(34i)34i34i34i3242解：

2143i28i2525i1i.2525

1z1例5已知z是虚数，且z+z是实数，求证：z1是纯虚数. 证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是

1abiab1a(b)i222222abab. z+z=a+bi+abi=a+bi+abb122abz∵z+∈R，∴b－=0. ∵b≠0，∴a2+b2=1. z1(a1)bi[(a1)bi][(a1)bi]22z1(a1)bi(a1)b∴

a21b2[(a1)b(a1)b]i02bibi.22ab2a112a1a1

bia1∵b≠0，a、b∈R，∴是纯虚数

当堂检测

11.设z=3+i,则z等于

31iB.3－i

C.1010 31iD.1010

A.3+i

abiabibaibai的值是

2.A.0

B.i

C.－i

D.1 iz2z3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数15的虚部为

A.1

B.－1

C.i

D.－i x3y4.设1i2i1i

(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.

39答案：1.D

2.A

3.A

4.5

, －5

课后作业：课本第112页

习题3. 2

A组4，5，6