1.3 二项式定理（通用）优质课教案内容

二项式定理教案

一:教学目标

1.掌握二项式定理及其归纳过程

2.培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力

3.养成严谨的思维习惯，培养对数学的兴趣

二

教学知识点

1.二项式定理：

（a+b）n=C

an+C

an－1b1+…+C

an－rbr+…+C

bn（n∈N*）

2.通项公式：

Tr+1=C

an_ rbr（r=0,1,…,n）

（二）能力训练要求

1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式.

2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项.

（三）德育渗透目标

1.提高学生的归纳推理能力.

2.树立由特殊到一般的归纳意识.

三:教学重点与难点：

重点：

分析的二次展开式，并归纳得到二项式定理

难点：

在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律

二项式定理（a+b）n=C

an+C

an－1b+…+C

an－rbr+…+C

bn有以下特征：

（1）展开式共有n+1项.

（2）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.

（3）各项的系数C

,C

,C

…Cnn称为二项式系数.

2.展开式的通项公式Tr+1=C

an_rbr,其中r=0,1,2,…n表示展开式中第r+1项.

3.当a=1,b=x时，（1+x）n=1+C

x+C

x2+…+C

xr+…+xn.

注意点: 1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数区别.

2.通项公式的灵活应用.

●教学方法

启发引导法

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］在初中，我们学过两个重要公式，即

（a+b）2=a2+2ab+b2;

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.

那么，将（a+b）4,以至于（a+b）5,（a+b）6…展开后，它的各项是什么呢？

Ⅱ.讲授新课

［师］不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？

不难发现，（a+b）2=a2+2ab+b2=C

a2+C

ab+C

b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=C

a3+C

a2b+C

ab2+b3.

即，等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同.

这样看来，（a+b）4的展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4.

这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？

［生］（讨论）

（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）

在上面4个括号中：

每个都不取b的情况有1种，即C

种，所以a4的系数是C

；

恰有1个取b的情况有C

种，所以a3b的系数是C

；

恰有2个取b的情况有C

种，所以a2b2的系数是C

;

恰有3个取b的情况有C

种，所以ab3的系数是C

；

4个都取b的情况有C

种，所以b4的系数是C

.

也就是说，（a+b）4=C

a4+C

a3b+C

a2b2+C

ab3+C

b4.

依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的.

即：（a+b）n=C

an+C

an－1b1+…+C

an－rbr+…+C

bn（n∈N*）

此公式所表示的定理.我们称为二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项的系数C

（r=0,1,2,…,n）叫做二项式系数.式中的C

an－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：

Tr+1=C

an－rbr.

另外，在二项式定理中，如果设a=1,b=x,则得到：

（1+x）n=1+C

x+C

x2+…+C

xr+…+xn.

［师］下面我们结合几例来熟练此定理.

［例1］展开（1+）4.

x分析：只需设a=1,b=，用二项式定理即可展开.

）+C（）2+C（）3+C（）4

解：（1+）4=1+C

（

.

［例2］

［例3］求（x+a）12的展开式中的倒数第4项.

分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得.

解：（x+a）12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得

.

［例4］（1）求（1+2x）7的展开式的第4项的系数；

（2）求（x－x）9的展开式中x3的系数.

x）7的展开式的第4项是T3+1=C·17－3·（2x）3

解：（1）（1+2

=C

·23·x3=35×8x3=280x3.

所以展开式第4项的系数是280.

注：（1+2x）7的展开式的第4项的二项式系数是C

=35.

（2）（x－）9的展开式的通项是.

由题意得：

9－2r=3,即:r=3

∴x3的系数是（－1）3C

=－84.

评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念区别.

Ⅲ.课堂练习

（自练）课本P121(B版)

P117(A版)

练习1～6.

1.（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（

）

A.4032

B.-4032

C.126

D.-126

2. (1-2x)15的展开式中的各项系数和是………………………

（

）

A.1

B.-1

C.215

D.315

思考:试想一想所有二项式系数之和为多少? _______ Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要掌握二项式定理及其通项公式.

Ⅴ.课后作业

（一）1.课本P117

5、6. (A版)

,

P121(B版)

5、6

（二）1.预习：课本P121～P124.