二 综合法与分析法第一课时教学实录

二 综合法与分析法

☆学习目标：

1. 理解并掌握综合法与分析法;

2. 会利用综合法和分析法证明不等式

☻知识情景：

1.

基本不等式：

10.

如果a,bR, 那么ab2ab. 当且仅当ab时, 等号成立.

ab20. 如果a,bR, 那么ab. 当且仅当ab时, 等号成立.

23. 如果a,b,cR022abc, 那么33abc, 当且仅当abc时, 等号成立.

22 2.均值不等式：如果a,bR,那么

2ab,ab,ab,ab的大小关系是：

ab22 常用推论：

1.

a0; a0;

a0



21abacb2(a0); 20. 2(ab0); 30. ababac00(a,b,cR).

3.不等式证明的基本方法：

10. 比差法与比商法(两正数时)．

2.

综合法和分析法． 3.

反证法、换元法、放缩法

☆案例学习：

综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.

又叫由

导

法.

用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB

例1 已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

证明：

c2a22ac,b0,b(c2a2)2abc

a2b22ab,c0,c(a2b2)2abc

由于a,b,c不全相等,所以上述三个式子中至少有一个不

取等号,把它们相加得 a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例2 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证:(1a1)(1a2)(1an)2n证明：

证明: a1R,1a12a1,

同理1a22a2,,1an2an

a1,a2,,anR,由不等式的性质,得

(1a1)(1a2)(1an)2na1a2an2n.

ai1时,1ai2ai取等号,

所以原式在a1a2an1时取等号.

分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法

.

这是一种执

索

的思考和证明方法.

用分析法证明不等式的逻辑关系：

BB1B2BnA

结 (步步寻求不等式 已

论 成立的充分条件) 知例3

求证

:2736证明：

证明: 27和36都是正数,

所以要证2736,

只需证(27)2(36)2,

展开得92149218,

只需证

1418,只需证

1418,1418成立,

所以2736成立.例4 已知a,b,c0,求证:a2b2b2c2c2a2abc

abc

分析:要证的不等式可化为

a2b2b2c2c2a2abc(abc)

观察上式,左边各项是两个字母的平方之积,

右边各项涉及三个字母,可以考虑用

x2(y2z2)2x2yz

证明: b2c22bc,a20,a2(b2c2)2a2bc

c2a22ac,b20,b2(c2a2)2b2ac

a2b22ab,c20,c2(a2b2)2c2ab

2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2b2ac2c2ab

a2b2b2c2c2a2abc(abc)

又a,b,c0,abc0,10,

22222abc

故abbcca2

abcabc例5 证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.

证明

（1）(a2b2)(c2d2)(acbd)20

（2）

a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)0

b2c2a2d22abcd0

（4）



(bcad)20

（5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

3）

（