3.三个正数的算术-几何平均不等式课件配套优秀

《三个正数的算术-几何平均不等式》教学设计

【课题名称】三个正数的算术-几何平均不等式

【课型】新授课

【授课班级】高2016级3班

【授课教师】

史国民

【授课时间】2019年3月21日（星期四）第7节

【教材分析】

均值不等式是不等式的重要内容，在不等式中占有重要地位。三元均值不等式是二元均值不等式的直接推广，本节知识由三元均值不等式的证明出发，重点在三元均值不等式的应用，即证明新的不等式和求函数最值。应用过程中的“一正二定三取等”等注意事项，是用均值不等式解决问题的关键。

【学情分析】

从认知上看，学生学习了二元均值不等式的有关知识，也很容易把本节内容与二元均值不等式从公式的形成、特点等方面进行类比。不过本节三元均值不等式的证明难度较大，学生需要认真体会不同的证明方法。

从能力上看，学生在高二下期已经具备了较强的运用知识解决问题的能力，但对知识的整合能力、问题的探究能力及思维的严密性上还需进一步加强。比如，对于均值不等式的使用条件，要验证各项是否为正，学生往往容易忽视。

从情感上看，学生学习兴趣比较浓，但缺乏主动探究问题的精神。

【教学目标】

1、知识与技能：

能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；了解基本不等式的推广形式。

2、过程与方法：

通过对三元均值不等式的证明和应用，向学生构造函数、拆项或配系数地解决问题的重要方法。

3、情感、态度、价值观：

通过多种证法和强调求导等多种解法，让学生体会数学知识间的有机联系。

【教学重点】

三个正数的算术-几何平均不等式的证明和简单应用。

【教学难点】

三个正数的算术-几何平均不等式的多种证明方法，用三元均值不等式解决最值问题的拆项、配系数技巧。

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【教学过程】

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

介绍哥德巴赫猜想：任何大于2的偶

看、听并思考

一、数，都可以写成两个质数的和. 情

复习绝对值的三角不等式及其推广

回想绝对值境

相关知识

引

提问：（1）二元均值不等式如何推广

类比得到三入

到三元？（2）a3b3c33abc中，元不等式，并注意到各项为正a,b,cR还一定成立吗？

数的限制

1、三元均值不等式的证明

（1）回想相

应公式，体会代

介绍三种不同证明方法：

数式变形方法

（1）用和的立方公式、立方和公式，

（2）回想二

因式分解法；

元均值不等式

（2）两次运用二元均值不等式；

（3）体会构

（3）构造函数，求导.

造函数证明不

等式的方法

二、2、三元均值不等式定理及其推广、变形

新（1）得出三元均值不等式定理：

课

讲

学习三元均abc3定理3：a,b,cR,abc，当值不等式定理

授

3

且仅当abc时,等号成立.

（2）推广为n元均值不等式：

了解n元均aa…+an值不等式

a1,a2,…,anR,12n

na1a2…an，当且仅当a1a2…

=an时,等号成立.

掌握三元均（3）总结两个变形式（定积定和原理）：

值不等式的两abc3

)

个变形式

abc33abc与abc(

让学生了解如何合理地猜想

让学生了解如何合理地推广

引导学生自己猜想、推广出三元均值不等式

三元均值不等式的证明方法较难，因此主要靠老师展示、学生理解来完成

三元均值不等式定理及其变形是本堂课重点内容，与二元均值不等式相应方法紧密相关

n元均值不等式只须了解，故简单介绍

3

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三、定理运用

阅读教材，学习规范的书写

引导学生回归教材

练习1：已知x,y,zR,

用均值不等

111式证明

求证：(xyz)()9.

xyz

请学生回答解决问题的思路，并介绍

多种证法

16例2：求函数yx2(x0)的最小值.

发现所给解x法的错误，并思

（1）向学生展示两种错误解法，再引考进而得到正确的解法

导学生得到正确解法，并做方法总结

回顾导数求

（2）运用三元均值不等式求解后，强解的方法

调也可用求导解决

4练习2：求函数yx2(x0)的最小值.

用两种方法x解决问题

请学生上台板书，并点评

例3：把一块边长是a的正方形纸壳的各

建立数学模角切去大小相同的小正方形，再把它的边型，选择适当的沿着虚线折转，做成一个无盖、方底的盒方法解决

子,问切去的正方形边长是多少时，才能使

例1：教材P9例5

对定理做直接变形

用三元均值不等式证明新的不等式

用三元均值不等式求函数最值，通过“示错”让学生抓住定理应用的关键

让学生同时掌握求导的方法

及时巩固所学方法

解决实际问题

盒子的容积最大？

请学生回答解题过程，教师板书.

四、课堂小结

内容要点：（1）三元均值不等式；（2）一正二定三取等.

方法技巧：（1）（合理地）猜想、推广；

（2）构造函数证明不等式；（3）拆项（拆为相同项）或配系数. 与老师共同回顾、总结

让学生再次回忆本堂课的公式、方法，培养学生归纳总结能力

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1、书面作业：

五、(1)教材第10页：7，11，12，13，14，15题；

作

(2)补充题. 业2、研究性作业：

布(1)了解n元均值不等式的证明方法；

置

(2)了解三元均值不等式的几何证明（面积法）. 【教学反思】

【教学流程图】

激发学生学习的兴趣

开始

引入

情境问题

质疑思考

新知探究

数学问题与探究

探究交流

得出结论

引导点拨

加深认知

运用

强化能力

总结提升

布置作业

结束

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