3.1.2 复数的几何意义设计意图

3.1.2复数的几何意义教案

教学

目标

教学

重点

教学

难点

教学

方法

1、知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数式加法、减法运算的几何意义。

2、能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

3、情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。

复数的几何意义

复数与向量的关系；复数模的几何意义；复数减法的几何意义。

问题启发

1、微观与宏观：每一节数学课，一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务；另一方面，作为整个数学学科教学的一个有机组成部分，同时也肩负着培养学生数学思想，形成数学观，整体认识数学学科等的宏观教学任务。

2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序。、更有效。

3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情。

教学进程

一、复习回顾

1、回顾上节课内容

注意：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

思考1：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点

（几何模型）

数

形

思考2：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

二、建构数学

（一）知识发掘

1、回顾复数的一般形式：Z=a+bi(a, b∈R) 思考：一个复数由什么唯一确定？

设

计

说

明

设计意图

回忆旧知，吸引学生的注意力；揭示确定一个复数的条件，为新课的传授作必要的铺垫。

以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比、思考，调动他们的积极性和主动性，活跃课堂气氛，拓展思维宽度，从而使新课更加顺理成章的展开。

教

学

过

程

2、试一试：你能在下列坐标系中表示下列复数吗？

（１）

２+５i ；（２）

－３+２i；（３）

２－４i；

（４）

－３－５i；

（５）

５； （６）

－３i；

面向全体学生（属基本题型），巩固概念，体会数形结合思想，重视一题多变，较全面地理解复数、复平面内的点、始点为原点的向量三者的关系。

3、试一试：你能读出下列点所代表的复数吗？(每个小正方格的边长为1)

（二）形成结果：

1、

复数的几何意义

有序实数对(a,b)

复数z=a+bi

直角坐标系中的点Z(a,b)

（数

（形

y bZ=a+bi Z(a,b)

x

通过知识的分层练习，使学生明确复数

的模（或绝对值），即2、建立了平面直角坐标系来表示复数的平面-----复平面

点Z到复平面原点的距x轴------实轴 y轴------虚轴

离，会求复数的模。

注意：1.实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，除原点外，体会数形结合思想，加因为原点表示实数0. 深数与形的相互转化。

2.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而

不是(a, bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.

（三）知识运用。

1．下列命题中的假命题是

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.

2. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二

象限，求实数m的取值范围. 变式：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线

x-2y+4=0上，求实数m的值.

（四）几何意义2

思考：还可以用其他方式复数的几何意义？

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数

的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

培养学生的类比猜想y 能力，逐步形成“观察Z=a+bi b——类比——猜想—Z(a,b) —质疑——验证——应用”获取知识的手段和方法，提高学生分析问题、解决问题的能oa力。

x

oa

有序实数对(a,b)

一一对应

一一对应

复数z=a+bi

平面向量OZ

一一对应

3、复数的模（或绝对值）

例1训练学生对复数几何意义的运用，渗透数形转化思想，培养向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。学生严谨的思维品质，有利于学生对复数几如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

何意义的理解。

在理解复数有关几何意义的基础上，将复数

几何意义应用推广到（五）运用

用复数研究解析几何1. 求下列复数的模：

(1)z1=-5i

(2)z2=-3+4i

(3)z3=5-5i

(4)z4=1+mi(m∈R) 某些曲线等问题，使学生进一步体会复数减(5)z5=4a-3ai(a<0) 法几何意义的重要性，思考:(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

(2)

满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构认识到复数与其它数学内容之间的联系。

成怎样的图形？

(3)

满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？

2.

已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. (1)

|z－(1+2i)| (1)|z－(1+2i)| (3)|z－1| (4)|z+2i| (2)

已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形? 三、回顾反思

1、请同学们回顾课堂全程内容、你明白了什么？

2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。

3 、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。

四、作业（略）

Z=abi=a2b2

根据课堂学生的反应，控制上课节奏；来不及讲的话，可将它作为课后思考题；重视一题多解，一题多变，感受数形结合的美妙。

回顾、反思打破了原有回顾知识的格局，主要安排体现三部分，即知识梳理、技巧与警示、重要的数学思想方法，为学生的后续学习奠定基础提高他们的认识水平。