3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计实例

3．2.2 复数代数形式的乘除运算

1．掌握复数代数形式的乘、除运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念．

1．复数代数形式的乘法及其运算律

(1)复数代数形式的乘法运算法则．

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝____________(a，b，c，d∈R)．

(2)复数乘法的运算律．

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

z1·z2＝________ (z1·z2)·z3＝________ z1(z2＋z3)＝________ 【做一做1－1】

i是虚数单位，则i(1＋i)等于(

) A．1＋i

B．－1－i C．1－i

D．－1＋i 【做一做1－2】

已知复数z1＝2＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．共轭复数的概念

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为______，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________．

z·z与|z|2和|z|2有什么关系？

【做一做2】

若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 3．复数代数形式的除法运算法则

在进行复数的除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成______的形式，再把分子与分母都乘以______________．

复数除法法则是

(a＋bi)÷(c＋di)＝______________(c＋di≠0)．

复数的运算包括四种运算：加、减、乘、除．两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中，把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并．在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成a＋biac＋bdbc－ad的形式，再把分子与分母都乘以复数(c－di)，并化简成2＋i的形式，两个c＋dic＋d2c2＋d2

复数乘、除的结果仍是复数．

【做一做3－1】

在复平面内，复数z＝1对应的点位于(

) 2＋iA．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【做一做3－2】

若z是复数，且(3＋z)i＝1(i为虚数单位)，则z为(

) A．－3＋i

B．3＋i C．－3－i

D．3－i

答案：1．(1)(ac－bd)＋(ad＋bc)i

(2)z2·z1

z1·(z2·z3)

z1z2＋z1z3

2【做一做1－1】

D

i(1＋i)＝i＋i＝－1＋i. 【做一做1－2】

D

∵z＝z1·z2＝(2＋i)(1－i)＝3－i，

∴它所对应的点位于第四象限．

2.z

共轭虚数

思考讨论

提示：z·z＝|z|2＝|z|2. x－2＝3x，x＝－1，【做一做2】

－1

1

由题意，可得故

y＝1.y＝1.

3.a＋biac＋bdbc－ad

分母的共轭复数c－di

22＋2i c＋dic＋dc＋d22－i2i211，－，此点在第四象【做一做3－1】

D

z＝＝＝－，则z对应的点为555552＋i限，故选D. 1【做一做3－2】

C

由(3＋z)i＝1，得3＋z＝＝－i，

i则z＝－3－i，故选C.

1．如何理解复数代数形式的乘、除法运算法则？

剖析：(1)当复数的虚部为零时，复数的乘、除法法则与实数的乘、除法法则一致．

(2)实数乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在复数集中仍成立．

(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数．

(4)可以推广到多个复数进行乘、除法运算．

实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立．如：

(1)z∈R时，|z|2＝z2，

而z∈C时，|z|2∈R，但z2∈C，

则|z|2≠z2. 如z＝－2时，|－2|2＝(－2)2；

而z＝1＋i时，|z|2＝|1＋i|2＝2，z2＝(1＋i)2＝2i，显然|z|2≠z2.

2(2)z1，z2∈R时，z21＋z2＝02而z1，z2∈C时，z21＋z2＝0z1＝0且z2＝0. z1＝0且z2＝0，

2但z1＝0，z2＝0z1＋z22＝0. 即两个复数的平方和为零是这两个复数同时为零的必要不充分条件．

2如当z1＝1＋2i，z2＝2－i时，z21＋z2＝0，但z1≠0，z2≠0. (3)z∈R时，zm＝znm＝n(|z|≠1)，而z∈C时，zm＝znm＝n. －a＜z＜a. (4)z∈R时，|z|＜a－a＜z＜a，而z∈C时，|z|＜a2．如何理解共轭复数？

剖析：(1)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝z否为实数的一个法则．

(2)几何特征：两个共轭复数的对应点关于实轴对称；

代数特征：两个共轭复数的虚部互为相反数．

(3)一个重要性质．

z∈R，这是判断一个数是两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·z＝|z|2＝|z|2，通常也写成|z|＝|z|＝

共轭复数的性质：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

①z＋z＝2a，z－z＝2bi；

②z＝z；

③z＝zz∈R；

zz·z. 1z1④z1±z2＝z1±z2，z1·z2＝z1·z2，z＝. 2z2

题型一

复数代数形式的乘除运算

【例题1】

(1)计算：①(1－i)2；

1331②－＋i＋i(1＋i)．

2222分析：利用复数代数形式的乘法法则进行计算．

－1＋i(2)复数z＝－1在复平面内对应的点在(

) 1＋iA．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

反思：(1)复数乘法运算法则的记忆．

复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1后，

再进行化简．

(2)复数的除法运算法则的记忆．

复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同时乘以i即可．

题型二

共轭复数的概念

【例题2】

设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？

分析：设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断→A，B是否同为实数→结论

反思：(1)共轭复数是复数除法运算的基础．

(2)z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．

(3)实数的共轭复数是它本身，即z∈Rz＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．

(4)若z≠0，且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

题型三

虚数单位i的幂的周期性

【例题3】

计算：i＋i2＋i3＋…＋i2 010. 分析：可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．

反思：(1)虚数单位i的幂的周期性．

＋＋＋①i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i，i4n＝1(n∈N*)，n也可以推广到整数集．

＋＋＋②in＋in1＋in2＋in3＝0(n∈N*)．

(2)记住以下结果，可提高运算速度．

①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

②1－i1＋i＝－i，＝i；

1＋i1－i1③＝－i. i题型四

易错辨析

【例题4】

已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值．

错解：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥23或k≤－23. 错因分析：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．

反思：解关于复系数一元二次方程有实数根的问题时，一般是将实数根代入方程，用复数相等的充要条件来求解．

答案：【例题1】

(1)解：①(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. 1331②－＋i＋i(1＋i) 2222＝－3133－i＋i＋i2(1＋i) 444431331(1＋i)＝－＋i(1＋i) ＋i－42422＝－

＝－3311－i＋i－

22221＋31－3＝－＋i. 22(2)B

把z化为a＋bi(a，b∈R)的形式再判断．

z＝－1＋i－1＋i1－i－1＝－1 1＋i1＋i1－i－1＋i＋i－i2＝－1＝i－1＝－1＋i，

2则复数z对应的点为(－1,1)，此点在第二象限，故选B. 【例题2】

解：解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＝a－bi，z2＝c－di，

∴A＝z1·z2＋z2·z1

＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2

＝2ac＋2bd∈R，

B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，

∴A与B可以比较大小．

解法二：∵z1，z2∈C，

∴设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

∴B＝z1·z1＋z2·z2＝(a＋bi)(a－bi)＋(c＋di)(c－di)＝a2＋b2＋c2＋d2，∴B∈R. 又∵A＝z1z2z2z1＝z1z2z2z1

＝z1z2z2z1＝z1·z2＋z2·z1＝A，

∴A∈R.∴A与B可以比较大小．

i1－i2 010i[1－i21 005]【例题3】

解：解法一：原式＝＝

1－i1－i＝i·1＋12i1＋i＝＝－1＋i. 21－i解法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，

＋＋＋∴in＋in1＋in2＋in3＝0(n∈N*)．

∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 005＋i2 006＋i2 007＋i2 008)＋i2 009＋i2 010＝0＋i－1＝－1＋i. 【例题4】

正解：设x0是方程的实数根，代入方程并整理，

2得(x0＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 2x0＋kx0＋2＝0，由复数相等的充要条件，得

2x0＋k＝0，

x0＝2，x0＝－2，解得或

k＝－22，k＝22.所以k的值为－22或22.

1(2010·广东高考)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(

) A．4＋2i

B．2＋i C．2＋2i

D．3＋i 2(2010·安徽高考)已知i2＝－1，则i(1－3i)＝(

) A．3－i

C．－3－i

B. 3＋i

D．－3＋i 3(2011·安徽巢湖一模)复数A. i(i为虚数单位)的虚部是(

) 12i

1i

5

1B．

5D. 1C．i

54已知a＝1

53i，那么a4＝__________. 12i5设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)·z是纯虚数，求z.

答案：1．A

z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i，故选A. 2．B

i(1－3i)＝i－3i2＝3＋i. i211i2i2i(12i)3．D

＝＝＝i，其虚部为，故选D. 12i(12i)(12i)55554．－4

∵a＝3i(3i)(12i)＝＝－1＋i，

12i5∴a4＝[(－1＋i)2]2＝(－2i)2＝－4. 5．分析：利用复数问题实数化的思想，设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用已知条件建立关于a，b的方程组，求解即可．

解：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由|z|＝1，得a2b2＝1. 3a4b0,由题意，得(3＋4i)·z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，则

4a3b0.

44a2b21,a,a,55由3a4b0,解得或

4a3b0,b3.b3.554343i或z＝i. 55554343∴zi或zi. 5555∴z＝