3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案及板书设计

§3.2.1复数的加减运算（教学设计）

备课组：齐齐哈尔市第十六中学数学组

授课类型：新授课

授课教师：张丹

授课时间：2019年3月

教学分析

复数的加减运算是学生在学习复数四则运算的第一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的四则运算，实数的运算法则，所以通过类比学生很容易理解复数的四则运算。

教学目标

知识与技能目标：

掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义

过程与方法目标：

培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。

情感、态度与价值观目标：

培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。

教学难点：复数加减法运算的几何意义。

教学过程：

一、复习回顾：

1、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数Z=a+bi复平面内的点(a,b) 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和

它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

二、师生互动、新课讲解：

1、复数代数形式的加减运算

（1）复数z1与z2的加法的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

（2）复数z1与z2的减法的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

（3）复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).

∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.

又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

（4）复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)

=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

教法与学法

教法：本节主要让学生类比实数的四则运算和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的加减运算和复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式. 学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的加减运算、复数的模的定义及公式. 教具准备：三角板、多媒体等

教学过程

教学环节

教师活动

探究一：复数代数形式的加减运算

规定：实部相加，虚部相加

创

设

情

境

学生活动

设计意图

学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。

针对上述问题，学生进行讨1.复数的代数形式为

zabi，a为

实部

，b为

虚论。

部

。

2.复数zabi(a,bR)是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？

探究二：复数加法的几何意义 复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

新

知

研

探

思考: 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出教师提出发讨论复数加法的几何意义吗

问题

学生思考，进行小组讨论。

由平面向量的坐标运算，有OZ=OZ1OZ2=学生回答，并总结

（ ）

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进师生共同总结

行（满足平行四边形、三角形法则）

试试：计算

（1）(14i)+(72i)=

（2）(72i)+(14i)=

（3）[(32i)+(43i)](5i)=

（4）(32i)+[(43i)(5i)]=

反思：复数的加法运算即是：

复数减法的几何意义：

教师通过问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是多媒体展示，让学生加法的逆运算. 认知复平新知：复数的减法法则为：

面内基本(abi)(cdi)(ac)(bd)i

概念

由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.

复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量

的减法来进行.

学生小组合作讨论

典型例题

例1 计算

(56i)(2i)(34i)

通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找到复数加法的几何意义

通过思考2，让学生能够把复数和向量相结合，从而推导复数的减法几何意义。

变式：计算

（1）（2）84i5（2）54i3i

23i329i2i

例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，32i，24i，试求： （1）AO表示的复数；（2）CA表示的复数；

（3）B点对应的复数. 练

在复平面内，复数65i与34i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，求向量AB，BA对应的复数.

探究三：复数的模

思考3：实数的绝对值、向量的模的几何意义是什么？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗?

复数zabi(a,bR)的模：zOZ=a2b2

例

题

例1 实数x分别取什么值时，复数zx2x6(x22x15)i

对应的点Z在第三象限？

例2 设zC满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）

z5

（2）

3z5

分组计算

简单题活跃气氛

让学生通过类比向量模的几何意义，归纳出复数的几何意义。

学生说思让学生理路，师生共解表示复同点评，然数的点所后学生做在象限的题，并找学问题转生黑板做化，复数题。

的实部与

虚部所满师生点评足的不等做题情况

式组的问

题，并掌

握重要的总结例1数学思的方法规想：数形律

结合思想

分

析

Aa,b例3.已知复数z对应点,说明下列各式所表示

的几何意义. 学生独立思考，并回(1)|z(12i)|答。教师点

(2)|z1|评

(3)|z2i|

1. a0是复数abi(a,bR)为纯虚数的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

2. 设O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为23i，合作交流

进一步认识复数的模的几何意义

理解|z－z1|的几何意义

32i，那么向量BA对应的复数是（ ）

A．55i B．55i C．55i D．55i

3. 当2m1时，复数m(3i)(2i)在复平面内对应的点3当

堂

检

测

位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4.判断对错. （1）实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数；

（2）若|z1||z2|，则z1z2；

（3）若|z1|z1，则z10

5.当m＜，复数1z2＋m-1i在复平面上对应的点位于（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、已知a，判断z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限. （巡视，个别辅导，及时评价）

尝试独立完成练习并回答结果

通过试题的形式检测学生对知识的掌握情况

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可. 拓

设复数zxyi(x,yR),在下列条件下求动点

展

Z(x,y)的轨迹.

延

(1)|z2|1

(2)|zi||zi|4

伸

(3)|z2||z4|满足成绩部分学生好的学生尝试完成

的求知欲.

1、两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，以提问的复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.

方式来达课堂

2、数学思想方法：类比、数形结合

到总结的小结

目的

引导学生一起总结本节课的主要内容. 作业布置

作业1 P54第1、2 （2）（4）（6）

作业2 （链接高考）在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C第三象限 D第四象限

板书设计

4.例题讲解

§3.2.1复数的加减运算

例1. 1.

复数的加法及几何意义

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+

(b+d)i

2.复数的减法及几何意义

例2. z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+

(b-d)i.

3.复数的模

例3. 复数zabi(a,bR)的模：

|z||OZ|a2b2

引入

练习

作业布置