3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时教案

复数代数形式的乘除运算

学习目标：

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则; 2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

教学重点：复数代数形式的乘除法运算. 教学难点：对复数除法法则的运用. 课型:新授课

教具准备：多媒体

教学设计：

一.复习提问： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二.探究新知：

1．复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

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其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律吗? 2.乘法运算律：

容易得到,对任意z1 ,z2 ,z3C

(1)z1z2=z2z1,(2)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ,(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

例题解析

例1：计算

12ii212i3i例2计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)

解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例3计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i)2.

解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z. 思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? （3）z1z2与z1、z2有什么关系？ (2)z1z2是怎样的一个数?

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探究: 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则.

4.除法运算规则：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abi

cdi①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. acbdx,22cxdya,由复数相等定义可知解这个方程组，得cd

dxcyb.ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad i. c2d2c2d2abi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母"实数"化. 把这种方法叫做分母实数化法

例4.计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)

12i(12i)(34i)386i4i510i12i

2234i(34i)(34i)3425553

变式训练 （-1+3i）(1+2i) 方法总结

（1）先写成分式形式

（2）然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) （3）化简成代数形式就得结果

考点突破

考点一

复数的乘除法

1.计算

(1)(32i)32i考点二 共轭复数

2.(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数z=1+2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

13i3.已知复数 ，z

是z的共轭复数，则 z的模

z3i(2)1i2iiA.4 B.2 C.1 D. 三．课堂小结

1.复数的乘法运算法则什么？其满足哪些运算律？

2.怎样的两个复数互为共轭复数？

3.复数的除法运算法则是什么？

四．课后作业 习题3.2A组 4,5 五．板书设计

六．教学反思：

甘肃省临洮县第二中学 支文妍

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