实习作业优秀教案板书设计

《建立函数模型探究气温变化问题》教学设计

泉州一中 黄立

本节课系福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象课题

《高中数学建模案例分析》（课题编号：DTRSX2017022）研究成果之一

一、教学内容解析

1.教学内容

三角函数既是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具．本课位于人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书》数学，必修4第一章《三角函数》第6节，本节课是《三角函数模型的简单应用》的第一课时．本节课学习的内容“三角函数模型的简单应用”是在学习了必修一“函数模型及其应用”以及必修四“三角函数的图象与性质”的基础上的一个新增内容，主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法，为学生以后学习回归分析做好方法上的铺垫．

教材设计本节内容的课程目标是：让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，使学生体会三角函数的价值和功能，增强应用意识，同时还要使学生加深理解有关知识．在安排内容时，强调数学文化，突出现代信息技术与数学课程的深度融合．特别注重数学应用过程的完整性，加强了对问题情境和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环节．

因此基于对教材内容和课程目标的分析与理解，本节课教学设计重新整合教材并保持与教材设计的一致性，内容上选择整合教材例1和例4，背景替换为学校天文社同学采集的泉州昨天分时气温数据，考察函数模型的建立，求解和简单应用；改编挖掘教材例3，对前一个问题的气温变化成因进行项目式学习，从复杂的背景中抽象出基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助理解问题．这样的处理既尊重教材，又尊重学生实际．选择贴近学生的学校天文社活动作为背景并用地理和物理的学科知识分析成因，体现数学和其他科学的融合，凸现数学文化．

2.教学重点

通过具体案例使学生掌握三角函数模型及其应用，体会数学建模的过程与方法．

二、学生学情分析

1.学情分析

学生在高中数学必修一学习了分段函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数模型，也学习了函数模型应用的基本步骤与方法．经历过收集数据，观察散点图，选择函数模型，求解函数模型，运用函数模型解释检验实际问题的数学建模过程，使用Geogebra相关技术辅助学习，体会到数形结合、函数与方程等数学思想，在数学知识与方法、数学实验操作上都具备一定的基础．同时，学生在高中必修四学习了三角函数和其他学科知识后，了解到三角函数与天文、物理、地理等学科中周期变化现象是有密切联系的．

要达成本节课的教学目标，需要学生能敏锐的发现实际问题中的三角函数模型背景，合理的分析理解数据，掌握完整的数学建模的步骤．但学生对建立和应用函数模型往往还停留在求解层面上，实际问题中的数学背景、意义，以及其中蕴含的数学思想、方法、素养的理解并不深刻．当面对利用三角函数解决具有周期变化规律的实际问题中的陌生背景、复杂数据时，学生会有畏难情绪和思维障碍；尤其是理解问题的实际背景、分析问题的复杂条件，建立和求解数学模型，检验模型的实际意义，利用模型最终分析和解决问题等环节都可能遇到一定的困难，导致实际问题的解决不能顺利完整的完成．同时，本节课对学生的信息技术辅助数学探究性学习的能力要求较高，特别是运用智慧课堂平板电脑操作Geogebra数学软件，可能会遇到网络传输不流畅，反应较慢，操作不熟练等因素的影响．

本节课的授课对象为泉州一中东海校区高一的学生，数学基础相对扎实，思维较活跃，教师平时运用Excel、Geogebra、几何画板软件辅助教学较多，学生运用平板电脑信息技术辅助学习较为熟练，具有丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和提炼总结意识上还有待进一步提升．

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2.教学难点

本节课的教学难点是：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并解决实际问题．

三、教学目标设置

1．通过具体案例使学生掌握三角函数模型及其应用，体会数学建模的过程与方法；

2．在经历用正弦型函数模型解决实际问题的过程中，积累数学活动经验，培养学生的数学建模素养和数学应用意识；

3．通过用正弦型函数模型解决实际问题的过程，让学生进一步认识和掌握选用函数模型进行数据拟合的方法．

为此选择教材中的一类问题：解决实际生活中形如yAsin(x)b的三角函数的应用问题作为本节课的教学内容，希望学生在探究问题的活动体验中获得对三角函数模型简单应用的深入理解．这类问题的内涵十分丰富：

（1）通过观察图象认识事物的形态变化的规律，构建恰当的函数模型，探索解决问题的思路，重点培养学生数形结合的数学思想和直观想象的核心素养；

（2）通过建立三角函数模型解决实际问题，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，重点培养学生转化与化归的数学思想和数学抽象、数学建模的核心素养；

（3）通过合理选择运算方式解决实际问题，培养学生程序化思考问题的品质，重点培养学生函数与方程的数学思想和数学运算的核心素养；

（4）通过留给学生的课后研究性学习课题，扩大研究对象的样本容量和拉长研究周期，培养学生的创新意识、特殊与一般、必然与或然的数学思想和逻辑推理的核心素养．

四、教学策略分析

1.策略分析

（1）数学文化为引线：以学校天文社活动作为背景引入，以分析温度变化成因作为拓展，以扩大样本容量和周期作为研究性学习课题激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的文化素养，通过数学文化立德树人．

（2）问题探究为主线：问题探究，层层递进．问题1自主分析实际问题，建立三角函数模型并解决实际问题，掌握数学建模完整的步骤与方法，熟练运用信息技术辅助学习，体会数学思想，提高数学素养．问题2对模型进行检验和应用，解释模型的适用范围，加深对三角函数与实际生活的关联体验．问题3进行项目式学习，小组合作结合地理和物理相关知识分析问题成因，体会学科融合，培养创造力．

（3）突破难点的策略：在教学时，引导学生重视分析实际问题，整理、提取和利用关键信息，抓住实际问题中的重要数据，善于提炼和处理数据，发现数据的内在规律，寻找数量之间的关系；同时借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系以及变化规律，进而建立实际问题的函数模型；最后注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行分析，做出合理的解释，最终达成突破难点的目的．

2.媒体分析

黑板：板书教学流程及要点．

多媒体投影：显示教学环节，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果；暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞．

平板电脑、Geogebra软件：绘制散点图，拟合三角函数图象，拟合求解函数解析式，帮助学生对比、验证自己所求函数的正确性；借助软件的计算功能，快速准确地解决问题，体会借助现代信息技术解决问题的便利性．

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五、教学过程设计

1．提出问题

泉州一中天文社活动内容丰富多彩：天文现象观测活动，地形地貌观测活动，气象观测活动等等．假期天文社张滨泓老师组织同学们进行气温观测活动，天文社同学们收集的昨天16个小时分时气温为数据如下表所示：（单位：℃）

时刻

气温

6 27 7 28 8 29 9 30 10 31 11 32 12 32 13 33 14 33 15 32 16 32 17 31 18 30 19 29 20 29 21 28 问题1．选用一个函数来近似描述分时气温与时间的关系．

【学生活动】

了解本节课的人文背景：泉州一中天文社团活动组织的气温观测活动，产生学习的兴趣，以昨天16个小时的数据为参考，更具真实性，感受数学建模来源于生活．

【教师活动与评价】

大致说明天文社活动，展示活动图片．创设情境，引出本节课核心问题．

【设计意图】

通过天文社活动图片，激发学生的学习兴趣和求知欲．从学生的经验和已有知识出发，通过密切联系学生的实际和生活环境，创设生动有趣、有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，让学生感受到生活需要数学．

2．解决问题

【学生活动】

回顾函数模型应用的解题步骤和探究方法，回忆使用过的信息技术工具．将其迁移到问题的解答过程中；学生独立思考，自主探究；小组合作学习、交流讨论；聆听、思考．

【教师活动与评价】

带领学生回忆在必修一中学习函数模型及其应用时的解题步骤和使用过的辅助工具；巡视指导，对不同的解决方法进行观察；指导点拨，收集不同的解决方案；总结问题特征和解题步骤．

【设计意图】

回顾旧知，为有效地解决问题作好知识、方法和工具上的铺垫；让学生通过描绘散点图，观察曲线几何特征，结合三角函数的相关知识、方法，独立探究解决问题；让学生在交流、探讨中实现思维火花的碰撞，完善自我的解决方案，梳理解题思路；及时总结已知模型的应用问题的解题步骤，为反思归纳三角函数模型的简单应用的步骤做好铺垫．

【预设情境】

1．学生能通过对必修一函数模型的应用的回忆，较为完整地按照：收集数据、画散点图、选择函数模型、求函数模型、检验、解决实际问题的步骤解决问题，但解题步骤可能不完整，需要教师引导、点评、总结．

2．学生采用平板电脑和Geogebra软件绘制散点图，部分学生选择三角函数进行拟合，部分学生选择多项式函数进行拟合，对两类函数都能较好的拟合函数产生困惑．

【教师活动与评价】

追问1：根据数据做出散点图，观察图形，你们认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？

学生结合以往所学的函数模型知识，抓住散点图明显的几何特征，构造三角函数模型解决问题．很好地体现了知识方法的迁移与应用以及良好的数学建模素养．

追问2：你能否求出这个函数模型？

同学们采用不同的方法求解出函数解析式，既体现了扎实的数学功底，也体现了应用现代信息技术解决问题的意识．两种方法都体现了很高的数学建模素养．使用现代信息技术会使得计算更便捷、准确．

追问3：为什么使用同样的数据会求得不同的结果？我们应该如何认识这种差异和选择函数模型？

两类方法所得的函数解析式虽然从类型上不一样，而且同一类函数模型可能有不同的函数解析式，但是它们在本质是一样的：因为多项式函数本质上就是三角函数的泰勒展开式．在检查计算后发现与实际数据可能不一致，但是并不影响解决实际问题．

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【设计意图】

帮助学生认真阅读题意，抓住关键的词句，弄清题意，建立数量关系；引导学生根据散点图的特点选择函数模型；再次强化数形结合的数学思想，提升直观想象的数学素养；引导学生根据散点图及有关数据求函数解析式；尽管问题是三角函数模型的实际应用，但方法与步骤与此前学习的函数模型的应用是完全一致的．即便学生有一定的知识储备，但是依旧要加强对问题情境和解题思路的分析，进一步突出教学重点并突破难点．强化转化与化归的数学思想，提升数学建模的核心素养．

建立数学模型解决实际问题，所得的模型往往是近似的，并且得到的解也是近似的．所以应该把握模型的核心特征，简化模型，优化方法．解题后的反思开拓了学生的视野，再次激发学习兴趣．既体现了数学应用过程的完整性，还可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对相应的数学方法、数学素养的认知层次，培养学生良好的解题习惯．由于实际问题常常涉及一些复杂的数据，因此要鼓励学生利用计算机或平板电脑处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．

问题2．能否根据求出的解析式，预测今天气温低于30℃的时间段？并应用相关的气象预测软件验证并说明理由．

【预设情境】

1．学生利用已经解得的函数解析式，演算求解出结果．

2．学生利用信息技术（Geogebra等软件）快速求解结果，验证演算结果的正确性．

【教师活动】

利用已得函数解析式，将实际问题转化为数学问题并求解，体现了很好的函数与方程的数学思想．使用已经学习过的信息技术是解决问题的另一种手段．并且当实际问题的数据更为复杂和变化时，利用信息技术能快速准确的解决程序化的计算问题．通过气象查询软件，发现今天的气温符合昨天的关系预测，但今夜冷空气突袭，导致明天的气温预测不相符．分析原因：考虑变量越多，数学建模相对越精确．

【设计意图】

通过解决一些简单的实际问题，引导学生认识到：建立三角函数模型后，可以把握事物的周期性发展规律，预测事件的发生，使我们能够快速解决实际问题．使用信息技术能快速准确的的解决程序化的计算问题．渗透转化与化归、函数与方程的数学思想，培养数学运算的核心素养．

3．挖掘问题

问题3．能否应用数学知识结合相关的物理、天文、地理知识来解释分时气温接近正弦变化规律的原因？

【学生活动】

学生独立思考，自主探究；小组合作学习、交流讨论；展示分享探究成果；聆听、思考．

【教师活动与评价】

结合课本例3，结合数学知识理解太阳高度角的知识点，提示将地球表面某地进行微分后再分析成因；巡视指导，对不同的分析方法进行观察；指导点拨，收集不同的解决方案；对各种方法从数学的角度进行完善．

【预设情境】

1．类比受力分析结合平面向量知识点分析成因；

2．应用光的强度在大气折射后的马吕斯定律分析成因；

3．从单位面积的能量密度结合解直角三角形的知识点分析成因．

【设计意图】

实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．

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4．反思归纳

归纳步骤：

思想与方法：数形结合的思想、转化与化归的思想、函数与方程的思想、一般与特殊的思想．

核心素养：数学建模、数据分析、数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象．

【学生活动】

基于对问题的探究和理解，对照必修一函数模型的应用解题过程的步骤，总结归纳三角函数模型的简单应用的步骤，理解由于实际问题的周期变化规律对函数模型选择的影响；强化对求解函数模型的一般步骤的理解，揭示探究过程中的数学思想、核心素养．

【教师活动与评价】

引导学生回顾解决问题的过程，提出该环节学习任务，师生共同反思总结、修正完善所涉及的知识、方法、思想、核心素养；指出学生步骤中的不足，引导学生一起完善．

【设计意图】

在充分体验的基础上，生成逻辑连贯、前后一致的知识体系，使得研究过程中的知识、方法、思想显性化，具体化，规范化．

六、课堂教学目标检测

作业布置：

1．在学校天文社收集的数据基础上，扩大样本容量，扩大研究周期，对一年的日平均气温的变化情况进行数学建模以及分析成因；

2．通过气象部门收集相关数据，进行数学建模，探索全球气候变暖问题；

3．以小组为单位，在暑假期间形成一份相关的研究性学习课题研究成果．

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