二 一般形式的柯西不等式教学设计思路

7.6柯西不等式、排序不等式及应用

教学注意事项

1．从代数角度看，柯西不等式给出了“平方和”与“乘积和”之间的大小关系.从向量角度看，柯西不等式给出了“向量的内积”与“向量长度”之间的大小关系.深刻理解柯西不等式的数学意义是灵活应用柯西不等式的基础.柯西不等式等号成立的条件应受到关注，s可参看课堂检测第5题. 2．排序不等式给出了“顺序和”、“反序和”与“乱序和”之间的大小关系，“序”是应用排序不等式解决问题的关键，应了解排序不等式等号成立条件. 3．柯西不等式、排序不等式的形式都是固定的，应用时都是要朝这种形式“凑”.另外，它们都对研究对象的正负没有要求，这与均值不等式的应用条件不同.利用柯西不等式、排序不等式求代数式的最值是学习的重点.

课堂检测

选择题

1．设实数a,b,x,y满足ab1,xy3，则axby的最大值是（ ）. (A)2 (B)3

(C)5

(D)2222110

2教学建议：利用重要不等式求最值，务必要让学生注意等号成立条件，不能只考虑不等关系.本题不能直接对axby用基本不等式求最大值a2x2b2y22)，教学时，应与学生一起分析错误原因. (axby22答案：B. 解：方法1

由柯西不等式(axby)2(a2b2)(x2y2)3，所以axby3，

当且仅当aybx时等号成立，所以axby的最大值是3；

113a2x23b2y2方法2

axby[(3ax)(3by)][]3，

22333ax,当且仅当时等号成立，所以axby的最大值是3. 3by

,b,cR2．设a，则Pbccaab与Qabc的大小关系是（ ）. abc(A)PQ

(B)PQ

( C)PQ

(D)PQ

教学建议：“序”是排序不等式应用关键，另外弄清目标是什么样的“和”是排序不等式应用的另一个关键.通过本题教学应让学生对这两点有所体会.

答案: D. 解：不妨设0abc，则0111，abacbc，由排序不等式

cbabccaababbcacP(同序和）(乱序和）abcQ. abcabc3．函数y5x110102x的最大值为（

）.

（A）30

（B）202

（C）10

（D）402

3

教学建议：求最值的关键是如何将目标放大或缩小为一个常数.本题的数学结构是“x1x2y1y2”形式，与柯西不等式的形式结构一致.为了得到一个常数，需要调整代数式的系数.另外，也可以考虑用数形结合思想求解.

答案：A. 解析1

由柯西不等式, 525222x210102x[()102][2x2102x]30. 22ux1解析2 设，则问题转化为在约束条件u2v24(u0,v0)下如何v5x研究线性目标函数y5u102v的最大值. y如图1，当直线和圆弧相切时，y取最大值. 直线和圆弧相切2|00y|y30，又y0, 25200ymax30.

填空题

4．已知a0,b0,且191,则ab的最小值为 .

ab教学建议：本题教学应让学生充分体会“1”的妙用，这是“凑”出符合使用柯西不等式的条件的重要技巧.本题也可用基本不等式求解. 答案:16. 解析1 由柯西不等式，有

19219b)16. ab(ab)()(aababb9a19)10616，

解析2 ab(ab)()10(abab当且仅当a4,b12,(ab)min16. b19解析3 由1,得a, b9abb9abb[(b9)]10291016. b9b9

5.

若a,b,c,x,y,z都是实数，且a2+b2+c2=25, x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则abcxyz的值为

. 教学建议：要引导学生认真分析本题所给条件的结构特征，由此容易想到应用柯西不等式，最后归结为探讨柯西不等式等号成立条件. 答案：5.

6解：(ax+by+cz)2  ( a2+b2+c2)( x2+y2+z2),

由已知此不等式等号成立，

不妨设a0,则存在实数k，使得x=ka, y=kb, z=kc,代入ax+by+cz=30,

得

k(a2+b2+c2)=30

k=6, 5

abc15=. xyzk6

解答题

6．证明：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc). 教学建议：本题的结构特征是“和式”与“和式”的不等关系，只要学生关注到这一特征，就容易联系到排序不等式.应用排序不等式的关键是产生两个序列. 证明：不妨设abc，则由排序不等式，有

222a2a2b2b2c2c2a2b2b2c2c2a2．

同理，(ab)2(bc)2(ca)2abbcbccacaababc(abc)．

xxx12x22(x1x2)27.

已知y10,y20，求证：，当且仅当12等号成立. y1y2y1y2y1y2教学建议：本题的结构特征与重要不等式不一致，需要变形.变形的关键仍然是“凑形x12x22(x1x2)2x12x22式”.将等价变为()(y1y2)(x1x2)2，就满足使用柯西y1y2y1y2y1y2不等式的条件了. 证明：y10,y20, 22x12x22xx()(y1y2)[(1)2(2)2][y1y2]

y1y2y1y2(x1xy12y2)2(x1x2)2, y1y2x12x22(x1x)22

, y1y2y1y2xxxx当且仅当1y22y112，等号成立，

y1y2y1y2命题得证.

课后测评

选择题

1．设

a，

b ，

c 是三角形三边长，a  b  c，则（

）. (A) c(a+b−c)  b(c+a−b)  a(b+c−a)

(B) c(a+b−c)  b(c+a−b)  a(b+c−a) (C) b(c+a−b)  c(a+b−c)  a(b+c−a)

(D) c(a+b−c) 

a(b+c−a)  b(c+a−b)

教学建议：本题训练由一个序，得到另一个序，这是应用排序不等式的一个很重要的能力，教学时应提醒学生认真体会.本题作为选择题，可给a，b，c取特殊值进行验证排除；还可考虑作差法比较大小. 答案: A. 解：方法1

取a5,b4,c3，容易看到只有选择支(A)符合要求. 方法2

由

a  b  c，作差比较有

c(abc)b(cab)(b2c2)(abac)(bc)(bca)0，

c(abc)b(cab)，同理可证b(c+a−b)  a(b+c−a)，

c(a+b−c)  b(c+a−b)  a(b+c−a).

21πx(0,)最小值为(

). , sin2xcos2x2

(A) 3+22

(B)4

(C)42

(D) 3+22

2．函数f(x)教学建议：教学时，应引导学生关注函数f(x)的特点，联想到sinxcosx1，就容易想到柯西不等式.此外也可用均值不等式处理. 答案：A. 解析1

用均值不等式求解

22212cos2xsin2x22 3+22

. f(x)(2)(sinxcosx)3222sinxcosxsinxcosx解析2

用柯西不等式求解

21212(12)2f(x)=322. sin2xcos2xsin2xcos2xsin2xcos2x注：本题解析1应用了课堂检测第7题.

2x2y21上运动，则2x+3y的取值范围是(

). 3．

已知点P(x, y)在椭圆23

(A) [33,33]

(B)[35,35]

(C) [33,35]

(D)[35,33]

教学建议：教学时要引导学生认真观察条件、结论的结构特征.根据从2x+3y的结构，结合已知，可联想到柯西不等式.另外，根据条件的结构，也可以考虑三角代换，利用三角函数的有界性得出解答. 答案：B. 解析1：（应用柯西不等式求解）

xy2233

|2x+3y| =|22|(22)(33)23

2x+3y

[35,35]. 解析2：（应用三角代换求解）

由已知可设x2cos,y3sin, x2y235, 23

2x+3y =22cos33sin35sin()[35,35]. 4．设AOBπ，自点O沿OA边依次取点A1,A2,A3，自点O沿OB边依次取点6B1,B2,B3（如图）. 选取某个Ai(i1,2,3)与某个Bj(j1,2,3)连接，得到AoAij，再在剩下的点中按上述方法连接，继续下去，一共得到三个三角形，要使得到的三个三角形面积之和最大，应该（

）. (A)A1与B3连接

(B) A3与B1连接

(C) A2与B3连接

(D) A2与B2连接

教学建议：教学时应相让学生具体表示出“和”式，由三角形面积之和相应的结构是“乘积和”，容易联想用排序不等式求最值. 答案：D. 解：设OAixi(i1,2,3)，OBiyi(i1,2,3)，

x2yi2x3yi3的大小决定，由排序不等式知识知道当且仅当yiy1,yiy2,yiy3时，x1yix2yix3yi最大. 1231231则三个三角形面积之和的大小由代数式x1yi

填空题

5．已知a+b+c = 1(a,b,c0), 则3a13b13c1的最大值为

. 教学建议：注意到3a1,3b1,3c1平方和是常数，容易想到柯西不等式.而3a1,3b1,3c1也容易让我们想到几何平均值，利用算术平均值也能得到常数，此时应小心配凑结构，以使均值不等式等号成立. 答案: 32. 解：方法1 （应用柯西不等式求解）

3a13b13c1

13a113b113c1121212(3a1)(3b1)(3c1)

3632,当且仅当3a13b13c1abc时，等号成立. 111方法2 （应用均值不等式求解）

2[2(3a1)][2(3b1)][2(3c1)]=32，

221

等号成立当且仅当3a+1=3b+1=3c+1=2,即a=b=c=. 311x6. 若对任意的a>b>c，不等式恒成立，则实数x的最大取值abbcac . 教学建议：本题教学首先要引导学生观察恒成立不等式的结构，并将它等价转化，进3a13b13c1=2(3a1)2(3b1)2(3c1)

为

而将问题具体化为求(ac)(西不等式. 答案：4. 11)的最小值，由此就容易联系到基本不等式或柯abbc11x11[(ab)(bc)]()x, abbcacabbc11112[(ab)(bc)]()((ab)(bc))4，

abbcabbcabbcac2b等号成立. 当且仅当bcab11(ac)()的最小值为4.

abbc于是已知等价于x4，所以实数x的最大取值为4. 11x11[(ab)(bc)]()x, 方法2 abbcacabbc111[(ab)(bc)]()2(ab)(bc)24，

abbc(ab)(bc)解：方法1

11,当且仅当abbc即ac2b时，等号成立. abbc,11(ac)()的最小值为4.

abbc于是已知等价于x4，所以实数x的最大取值为4.

解答题

7．若a，b，c> 0，且ab+bc+cd=1,求证：abc3

. 教学建议：可以引导学生分析条件与目标的“次数”关系，转化为证明(abc)23.由此，再结合条件还可以进一步想到利用排序不等式得到a2+b2+c2ab+bc+ca . 解：由排序不等式有a2+b2+c2ab+bc+ca , (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3 ,

又由a+b+c＞0,故a+b+c3, 当且仅当abc+3时，等式成立. 3教学建议：教学中，要引导学生观察待证不等式的结构特征，发现轮换a, b, c，不等式不变，由此可以规定a, b, c的一个顺序而实现“有序化”，这是应用排序不等式的关键.另外，要让学生分析清楚“和”的形式（同序、乱序还是反序），这是应用排序不等式的另一个关键.

证明：不妨设abc>0,则a12b12c128．已知a, b, cR, 求证：

a10b10c10. bccaab111且a12b12c12 , 则

bccaaba12b12c12a12b12c12a11b11c11(同序和)

(乱序和) =，

bccaababbccabca111111111由,cba，又有

abca11b11c11a11b11c11(乱序和)

(反序和)a10b10c10，

bcaabca12b12c12a10b10c10. bccaab