二 用数学归纳法证明不等式教学设计第一课时

学习目标

1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路．

2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的自然数)．

3．了解n为实数时贝努利不等式也成立. 一、自学释疑

根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究

思考探究

在应用贝努利不等式时应注意什么？

名师点拨：

1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解

当指数n推广到任意实数α时，x>－1时，

①若0<α<1，则(1＋x)≤1＋αx. ②若α<0或α>1，则(1＋x)≥1＋αx. 当且仅当x＝0时等号成立．

2．贝努利不等式的应用

贝努利不等式：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)>1＋nx. 推论：当x是实数，且x>－1，x≠0，n为不小于2的正整数时，有1－>1－1＋x. 1＋x

3．数学归纳法与其他方法的联系

数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证n＝k＋1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等．

nααnxnnx

4．用数学归纳法证明不等式时常用技巧

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n0的定位，要弄清楚n＝k和

n＝k＋1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯n＝k＋1时的目标，对n＝k＋1时的结论进行一系列的变化，变化的目标就是n＝k＋1时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”．常用放缩法做辅助手段．

【例1】

求证：

【变式训练1】

用数学归纳法证明：

11111＋2＋2＋…＋2<2－(n≥2，n∈N)．

23nn

1211【例2】

求证：当n≥1(n∈N)时，(1＋2＋…＋n)1＋＋＋…＋≥n. n23

1112n【变式训练2】

求证：1＋＋＋…＋≥(n∈N＋) 23nn＋111115＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N)．

n＋1n＋2n＋33n6

【例3】

已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145. (1)求数列{bn}的通项公式bn；

1(2)设数列{an}的通项an＝loga1＋，(其中a>0，且a≠1)，记Sn为数列{an}的前nbn1项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．

3

【变式训练3】

在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋) (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：1115＋＋…＋<. a1＋b1a2＋b2an＋bn12

参考答案

提示

在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>－1，且x≠0.

【例1】

【分析】

本题由n＝k到n＝k＋1时的推证过程中，n＝k时，首项是1，k＋111尾项是，分母是从k＋1开始的连续正整数，因而当n＝k＋1时，首项应为，尾项是3kk＋21k＋1111，与n＝k时比较，后面增加，，共三项，而不只是增加3k3k＋13k＋23k＋31. k＋11k＋一项，且还减少了一项1111575【证明】

(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．

3456606

(2)假设n＝k(k≥2，n∈N)时，不等式成立，

即1115＋＋…＋>，

k＋1k＋23k61k＋1＋＋1k＋11111＋…＋＋＋＋＝＋23k3k＋13k＋23k＋3k＋1则当n＝k＋1时，＋111111＋＋－＋…＋＋

k＋23k3k＋13k＋23k＋3k＋111151＋＋－>＋

63k＋13k＋23k＋3k＋111151＋＋－>＋

63k＋33k＋33k＋3k＋15＝＋63k＋－15＝. k＋16∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)，知原不等式对一切n≥2的自然数都成立．

1513【变式训练1】证明

(1)当n＝2时，1＋2＝<2－＝，

2422∴不等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N)时命题成立，即

11111＋2＋2＋…＋2<2－，

23kk则n＝k＋1时，

1111＋2＋2＋…＋2＋23k111＝2－＋－

kkk＋11k＋21<2－＋k1k＋21<2－＋kk1k＋

＝2－1，不等式成立．

k＋1由(1)(2)知原不等式在n≥2(n∈N)时均成立．

【例2】【分析】

本例中不等式左边是两项的积，而且含有等号，第一步需验证n＝1和n＝2时不等式成立，第二步推n＝k＋1时，为了凑出(k＋1)，要恰当的放缩．

【证明】

(1)当n＝1时，左边＝1×1＝1＝右边，不等式成立．

2192当n＝2时，左边＝(1＋2)1＋＝>2，不等式也成立．

221112(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即(1＋2＋…＋k)1＋＋＋…＋≥k. k23则当n＝k＋1时，有

111左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]1＋＋…＋＋

kk＋12111＋(k＋1)1＋1＋…＋1＋1 ＝(1＋2＋…＋k)1＋＋…＋＋(1＋2＋…＋k)2kk2k＋11k12≥k＋＋1＋(k＋1)1＋＋…＋. k22∵当k≥2时，

11131＋＋…＋≥1＋＝，(*) 2k22k32∴左边≥k＋＋1＋(k＋1) 22322＝k＋2k＋1＋>(k＋1). 2这就是说当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，当n≥1时，原不等式成立．

2×1【变式训练2】证明

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，

1＋1左边＝右边．

3434当n＝2时，左边＝，右边＝，∵>，

2323∴左边>右边，∴当n＝1或n＝2时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，即

1112k1＋＋＋…＋≥. 23kk＋1

当n＝k＋1时，

11112k12k＋1左边＝1＋＋＋…＋＋≥＋＝. 23kk＋1k＋1k＋1k＋1∵∴2k＋1k＋－＝k＋1k＋＋1kk＋k＋>0，

2k＋1k＋>＝右边，

k＋1k＋1＋1由不等式的传递性知，左边>右边．

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)，可得对一切n∈N＋不等式都成立．

【例3】【解】

(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得

b1＝1，10b1＋－2d＝145

⇒b1＝1，d＝3.

∴bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2知

Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga1＋＝loga141

3n－2＋1＋41＋1，

3n－213而logabn＋1＝loga3n＋1. 31311于是，比较Sn与logabn＋1的大小即比较(1＋1)1＋…1＋与3n＋1的大小．

343n－2333取n＝1，有(1＋1)＝8>4＝3×1＋1. 133取n＝2，有(1＋1)1＋>8>7 43＝3×2＋1. 由此猜想：

131(1＋1)1＋…1＋>3n＋1.(*) 43n－2下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，已验证(*)成立．

②假设n＝k(k≥1)时，(*)成立，即

131(1＋1)1＋…1＋>3k＋1，

43k－2则当n＝k＋1时，

11(1＋1)1＋…1＋1＋43k－21k＋

－213k＋233>3k＋11＋3k＋1. ＝3k＋13k＋1∵＝3∴3k＋23333k＋1－33k＋4

3k＋1k＋3－k＋k＋2k＋2＝9k＋4k＋2>0，

3k＋133(3k＋2)>3k＋4＝3k＋1k＋＋1. 11311＋从而(1＋1)1＋…1＋>43k－23k＋1立．

由①与②知，(*)对任意正整数n都成立．

1所以，当a>1时，Sn>logabn＋1，

31当0

k＋＋1，即当n＝k＋1时(*)也成【变式训练3】分析

本题主要考查数列的概念和性质，数学归纳法及用放缩法证明不等式的数学方法，考查归纳、推理及运算能力．

解

(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，an＋1＝bn·bn＋1，又a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1). 用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可知，结论成立．

②假设n＝k时，结论成立，

即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1). 那么当n＝k＋1时，

222ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1) ＝(k＋1)(k＋2)．

a2k＋1bk＋1＝＝(k＋2)2. bk所以，当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)对一切正整数都成立．

(2)115＝<. a1＋b16122当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n. 故1111111＋＋…＋＋＋…＋<＋na1＋b1a2＋b2an＋bn622×33×41n＋

11111111＝＋－＋－＋…＋－

622334nn＋11115111＝＋－<＋＝. 622n＋16412综上，原不等式成立．