一 比较法教学设计(第二课时)

2.1 比较法

一、教学目标

1．理解比较法证明不等式的依据．

2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

四、教学难点

通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

五、教学过程[来源:Zxxk.Com]

（一）导入新课

已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【证明】

2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b.

（二）讲授新课

教材整理1

作差比较法

1．理论依据：①a＞b⇔

；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔

. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明

，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：①

；②变形；③

；④下结论．

教材整理2

作商比较法

1

aa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔

；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. bb2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明

，这种方法称为作商比较法．

3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

（三）重难点精讲

题型一、作商比较法证明不等式

a＋b2ab例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：ab＞(ab). 【精彩点拨】

判断aabb与abs\up21(f(a＋b,2)的正负)→作商变形→与1比较大小→下结论

a＋b2【自主解答】

∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0，

aabb)s\up21(f(a＋b,2)a＋ba＋ba－b－2b－22a＝aa·b＝b. 作商ab∵a≠b，∴当a＞b＞0时，

a－b2＞1，

a－baab＞1且＞0，∴b2a＋b2而(ab)a＋b2ab＞0，∴ab＞(ab). a－b2＞1，

a－baa当b＞a＞0时，0＜b＜1且2＜0，∴ba＋b2而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab). a＋b2ab综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有ab＞(ab).

2 [来源:Zxxk.Com]

规律总结：

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．

a2．运用a＞b⇔b＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．

[再练一题] 1．已知m，n∈R＋，求证：m＋nm＋nnm≥m·n. 2【证明】

因为m，n∈R＋，

m＋nm＋n所以2≥mn＝mns\up21(f(m＋n,2))，

[来源:学科网]令ω＝错误!＝m错误!·n错误!＝错误!错误!，

m则：①当m>n>0时，n>1，m－n>0，则ω>1. ②当m＝n时，ω＝1. m③当n>m>0时，01. 故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.

即m＋nmns\up21(f(m＋n,2))≥m＋nmn·nm，

m＋nm＋nnm所以2≥m·n.

题型二、比较法的实际应用

例2

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

【精彩点拨】

设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．

【自主解答】

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用

3

t1t1ss的时间分别为t1, t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2. 222m2n2ss(mn)∴t1＝，t2＝，

m＋n2mn2ss[4mn(mn)2]s(mn)∴t1－t2＝－＝

m＋n2mn2mn(mn)s(mn)2＝－. 2mn(mn)其中s，m，n都是正数，且m≠n，

∴t1－t2＜0，即t1＜t2，

从而知甲比乙先到达指定地点．

规律总结：

1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．

2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．

[再练一题] 2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？

l【解】

设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2π2，截面l是正方形的水管的截面面积为4. l211(4)l2ll∵π·2π－4＝4π－4＝. 16(4)l2由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，

16222ll∴π·2π＞4. 因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管

4 22

比截面是正方形的水管流量大．

题型三、作差比较法

例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 【精彩点拨】

此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．

【自主解答】

法一

∵a2＋b2－ab－a－b＋1 1＝2[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，

∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[来源:Zxxk.Com]

法二

a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，

对于a的二次三项式，

Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.

∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，

故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 规律总结：

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．

2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．

[再练一题] 3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【证明】

∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2) ＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a) ＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．

∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，

∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，

即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.

5

（四）归纳小结

—作差法比较法——作商法

—实际应用

（五）随堂检测

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s

B．t≥s

C．t＜s

D.t≤s

【解析】

s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，

∴s≥t. 【答案】

D 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(

A．P＞Q

B．P＜Q

C．P＝Q

D.大小不确定

【解析】

P－Q＝loga3＋1)－loga3＋1a(a(a2＋1)＝logaa2＋1. 当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜a3＋1a2＋1＜1，

∴loga3＋1aa2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，a3当＋1a2＋1＞1，

∴loga3＋1aa2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 综上总有P＞Q，故选A. 【答案】

A 3．设a，b，m均为正数，且bb＋ma＜a＋m，则a与b的大小关系是________．

【解析】

b＋ma＋m－ba＝m(ab)a(am)＞0. 又a，b，m为正数，[来源:Z|xx|k.Com]

∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0. 6 )

即a＞b. 【答案】

a＞b

六、板书设计

2.1 比较法

教材整理1

作差比较法

教材整理2

作商比较法

例1：

例2：

例3：

学生板演练习

七、作业布置

同步练习：2.1比较法

八、教学反思

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