三 排序不等式第一课时评课稿

三排序不等式

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理) 定理：(排序原理，又称为排序不等式)

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

[点睛]

排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．

用排序不等式证明不等式所证不等式)

中字母大小顺序已确定

[例1]

已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：

a5b5c5111＋＋≥＋＋. b3c3c3a3a3b3abc[思路点拨]

分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．

11[证明]

∵a≥b>0，于是≤，

ab11又c>0，从而≥，

bcca11111同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得

a5b5c5b5c5a5＋＋≥＋＋

b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3

111b2c2a2222＝3＋3＋3∵a≥b≥c，c3≥b3≥a3

cabc2a2b2111111≥3＋3＋3＝c＋a＋b＝a＋b＋c. cab∴原不等式成立．

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．

π11．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

22πππ0，为增函数，y＝cos x在0，为减函数，

证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在222∴0cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α

>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ

1＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

22．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn. 由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n

≥1·xn＋x·xn1＋…＋xn1·x＋xn·1 －－即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①

又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，

由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn1·xn＋xn·1 －≥1·xn＋x·xn1＋…＋xn1·x＋xn·1，

－－即x＋x3＋…＋x2n1＋xn≥(n＋1)xn.②

－将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.

[例2]

设a，b，c为正数，求证：

a12b12c12101010bc＋ca＋ab≥a＋b＋c. [思路点拨]

本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)

利用排序不等式加以证明．

111[证明]

由对称性，不妨设

a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，bc≥ca≥ab，

故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得

a12b12c12a12b12c12a11b11c11bc＋ca＋ab≥ab＋bc＋ca＝b＋c＋a.①

111又因为a11≥b11≥c11，≤≤. abc再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得

a11b11c11a11b11c11＋＋≤＋＋.②

abcbcaa12b12c12101010所以由①②得＋＋≥a＋b＋c. bccaab

在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．

bccaab3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. abc证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，

111由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，c≥b≥a. 111由排序不等式，知ab×c＋ac×b＋bc×a

111≥ab×b＋ac×a＋bc×c＝a＋c＋b，

bccaab即a＋b＋c≥a＋b＋c. a1a2a2a3a3a14．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3. a3a1a2证明：不妨设

a1≥a2≥a3>0，于是

111≤≤，aa≤a3a1≤a1a2，

a1a2a323由排序不等式：顺序和≥乱序和得

a1a2a3a1a2a3111＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·aa

a3a2a1a2a3a112＝a3＋a1＋a2. 即a1a2a2a3a3a1＋＋≥a1＋a2＋a3. a3a1a2

1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是(

) A．100,85

C．95,80

B．100,80 D．95,85 解析：选B

由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80. 2．若0

) A．a1b1＋a2b2

1C．a1b2＋a2b1

D.

2解析：选A

因为0

a＋b＋c3．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的大小关系2为(

) A．P≥Q

C．P≤Q

B．P＝Q

D．不能确定

B．a1a2＋b1b2

解析：选C

不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A

＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝P＝a＋b＋c. 24．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花(

) A．76元

C．84元

B．20元

D．96元

解析：选A

设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．

5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．

解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32

28 6．设正实数a1，a2，…，an的任一排列为

a1′，a2′，…，an′，则a1a2＋＋…a1′a2′

an＋的最小值为________．

an′解析：不妨设0

111则≥≥…≥. ana1a2a1a2an其反序和为＋＋…＋a＝n，

a1a2n则由乱序和不小于反序和知

a1a2ana1a2an＋＋…＋≥＋＋…＋a＝n，

a1′a2′an′a1a2n∴a1a2an＋＋…＋

的最小值为n. a1′a2′an′答案：n

7．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是________．

解析：a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，

∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是[20,30]．

答案：[20,30] a＋b＋c8．设a，b，c是正实数，用排序不等式证明aabbcc≥(abc). 3证明：由所证不等式的对称性，不妨设a≥b≥c>0，

则lg a≥lg b≥lg c，据排序不等式有：

alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，

alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，

以上两式相加，再两边同加alg a＋blg b＋clg c，整理得

3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)，

即lg(aabbcc)≥a＋b＋c·lg(abc)，

3a＋b＋c故aabbcc≥(abc). 39．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成绩？

解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，

且由排序不等式知顺序和为最大值，

∴最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高，

∴三人上场顺序是A第一，B第二，C第三．

c2b2a2a2b2c210．已知0

所以111≥≥>0，

a＋bc＋ab＋c又0

c2b2a2a2b2c2所以＋＋是顺序和，

＋＋是乱序和，

a＋ba＋cb＋ca＋bb＋cc＋a由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，

c2b2a2a2b2c2即不等式＋＋≥＋＋成立．

a＋ba＋cb＋ca＋bb＋cc＋a