2.基本不等式优秀教案范文

1.1.2 基本不等式

学习目标：1. 理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件;

2. 初步掌握不等式证明的方法

重点：理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件。

难点：初步掌握不等式证明的方法。

自学探究

：

问题1

重要不等式

22 如果a,bR, 那么ab2ab.（

当且仅当ab时, 等号成立）. 你能证明这个结论吗？

解析：

当且仅当ab时

等号成立

其几何意义是：用四个直角三角形（两直角边分别为

）,拼成一个正方形，正方形的边长为

,从图角形可以知道正方形的面积大于四个直角三角形的面积和。（如课本图示）

问题2.

基本不等式（也叫均值不等式）:如果a,bR, 那么abab（当且仅当2ab时, 等号成立）.你能解释这个结论吗？

解析：

几何意义：在中，

（当且仅当ab时

等号成立）。

，点为的中点，为高，设，

，由射影定理，得

在中，点为斜边中，

的中点

当且仅当

与

重合，即时等号成立。

问题3.重要不等式和基本不等式在应用时要注意哪些方面？

１是成立的条件：定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是a>0,b>0.

２是等号取得的条件是：当且仅当a=b时.

技能提炼

1.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求ab1的最小值. ab

解析：（１）因为

都是正数，所以

,又由均值不等式得：

，故

, 故

,当且仅当

时，

, 故

(2)设

由

１

知，

,考查函数

,

上是单调递减的，

当

时，

有最小值

本题不能用：

１７４，故

,因为当且仅当

,即

时“＝”号成立，这显然是不可能的。

试一试：

1.已知x>3,则x+

的最小值为

(

)

A.2

B.4

C.5

D.7

【解析】选D.x>3,则

当且仅当x=5时等号成立.

2.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则

(

) A.x+y≥2(

+1)

C.x+y≤(

+1)

2B.xy≤

+1 D.xy≥2(

+1)

【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy-

所以xy-

≥1,解得xy≥3+

.

又xy-(x+y)≤

(x+y)2-(x+y),

(x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2(

+1).

3.函数f(x)=

【解析】f(x)= 答案:

的值域为_________

.

探究点

基本不等式

1.在基本不等式

abab

中,为什么要求a>0,b>0?

2提示:因为若a<0,b<0时,不等式显然不成立,若其中有

一个为0时,不能称

为几何平均,故要求a>0,b>0. 2.若f(x)=x+

,则f(x)的最小值为2吗?

提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小

值才是2.

【归纳总结】

1.理解基本不等式的两个关键点

一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的条件是当且仅当a=b时.

2.利用abab

求最值的三个条件

2(1)各项或各因式为正.

(2)和或积为定值.

(3)各项或各因式能取得相等的值.

3.定理1与定理2的不同点

定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是a>0,b>0.

4.两个不等式定理的常见变形

(1)ab≤

(2)ab≤

(a>0,b>0).

≤

(3)

≥2(ab>0).(4)

(5)a+b≤

上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.

达标检测

1.填空：

(1) 设x0,y0且x2y1，求的最小值.

;

(2) 设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是____________________ ;

1x1y

(3) 若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是

．

２.一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm

的面

积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上

2

的铜线最节省．

222３.（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,)，求证：ab(ab),指出等xyxy号成立的条件；

（2）利用（1）的结论求函数f(x)29（x(0,1)）的最小值，指出取最小2x12x值时x的值．

应用基本不等式求最值的方法与步骤

(1)方法:二看一验证

①一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对式子变形,凑出需要的定值;

②二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正;

③验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.

步骤:

利用基本不等式解决实际应用问题的方法

利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.

忽视了基本不等式成立的条件，是常见错误。

反思总结: 1.知识建构

22重要不等式

如果a,bR, 那么ab2ab.（

当且仅当ab时, 等号成立）

基本不等式:如果a,bR, 那么2.能力提高

3.课堂体验

课后练习: 同步练习

abab（当且仅当ab时, 等号成立）

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