二 用数学归纳法证明不等式优质课教案

人教版高中数学选修4-5第四讲用数学归纳法证明不等式

（第一课时）教学设计

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5（人教A版）》第四讲《数学归纳法证明不等式》。在这之前的《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。我们已经了解了数学归纳法是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。我们在前面学习证明不等式时，已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式，本节课是数学归纳法证明不等式的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法结合分析法、作差法、放缩法等方法证明与不等式有关的问题。

二、学情分析

学生在本学期学习本节课之前，已对数学归纳法证明等式、几何命题等有一定的认识和了解，也掌握了一些不等式证明的基本方法，学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是在解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题，二是如何利用归纳假设，将n=k的不等关系转化到n=k+1成立。

三、教学策略

本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合，努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法，以及归纳递推、转化变形、合理放缩的数学思想。

四、教学目标

（1）知识与技能目标：

①进一步理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明不等式问题。

（2）情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，通过一题多解提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

五、教学重难点

教学重点：进一步体会数学归纳法的基本思想，掌握数学归纳法证明不等式的基本方法；

教学难点：数学归纳法证明不等式中放入放缩思想。

六、教学过程

(一)、创设问题情境，回忆数学归纳法的基本思想，启动学生思维

【视频】播放多米诺骨牌的游戏视频

【问题】多米诺骨牌全部倒下的条件与体现了我们数学中的哪种方法的数学思想？

【设计意图】由多米诺骨牌游戏的原理对应数学归纳法证明的两个条件

①

第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块

倒下，则后一块也倒下

①当

n1

时，猜想成立 ②任意相邻的两项，假设

nk时，猜想成立，

证明则当nk1时：猜想成立

(二)、引出数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

(三)、课堂练一练

1.用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈N)第一步应验证（ ）

A..n=1 B..n=2 C..n=3 D..n=4 思路分析：由题意知n≥3，∴应验证n=3. 答案：C 2.用数学归纳法证明1+n3**111n1)时，第一步即证明不等式2321__________成立. 思路分析：因为n＞1，所以第一步n=2. 答案：1+11+<2 2311112k1)(1+))(1+)…(1+k)>(k>1)，则当n=k+1时，3572121)，最后一个是k213.用数学归纳法证明(1+左端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________. 思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+(1+12k11)，共有2-2=2项. kk-1k-14.用数学归纳法证明11111，假设n=k时，不等式成立之后，2222n223(n1)证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________. 思路分析：把n=k时的不等式中的k换成k+1即可. 答案：

答案：(1+111111

22222k323(k1)(k2)111)(1+)…(1+) 2k-1 k1kk212123【设计意图】通过与不等式有关的习题进一步明确数学归纳法证明的基本步骤和关键要点，并为后面证明不等式问题做好铺垫。

数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.总结以上的分析，归纳如下：“奠基步骤不能少，归纳假设

要用到，结论写明莫忘掉.”

(四)、问题探究

探究一、若n为大于1的自然数，求证：11113

n1n22n24.【设计意图】注意引导学生从归纳假设过度到n=k+1时的不同方法，学生比较容易的想到分析作差的方法，教师再引导学生进行合理的放缩，为后面的问题解决做好过渡。. 11713. 2122122411113(Ⅱ)假设当n=k时成立，即. k1k22k241111111则当n=k+1时，

k2k32k2k12k2k1k1131111311. 242k12kk1242k12k2解：(Ⅰ)当n=2时，n(n1)(n1)21223n(n1)探究二、求证：(n∈N+) 22学生讨论，合作解决。允许学生多种想法，即便会碰壁也无妨，重在体会如何根据目标式，通过不等式的传递性达到我们想要的结果，让学生充分体验思维过程。

解：记an=1223n(n1)，

12(11)2（Ⅰ）当n=1时，a1=12=2>1=,而a1=2<2=，

2212(11)2∴当n=1时，不等式

k(k1)(k1)2(k1)(k2)ak(k1)(k2)(k1)(k2), ∵22k(k1)k(k1)k(k1)(k1)(k2)(k1)2+(k+1) 222k(k1)(k2)=(k+1)(+1)=, 22而(k1)2(k1)2(k1)(k2)k24k4(k2)2(k1)(k2), 22222(k1)(k2)(k2)2ak1∴, 22

即n=k+1时不等式正确；

*根据(Ⅰ)(Ⅱ)知对n∈N，不等式正确. 跟踪练习 用数学归纳法证明（1+1）（1+证明：当n=1时，不等式①成立

11）·

…·

（１＋）＞2n1

32n1假设n=k时，不等式①成立，即

（1＋1）（1＋11）·…·（１＋）＞2k1

32k1那么n=k+1时，

（１＋１）（１＋111）·…·（１＋）（１＋）

32k12k12(k1)2k11＞2k1（１＋）＝

2k12k12(k1)2k1212又［］－（2k3）＝＞０，

2k12k12(k1)2k1∴＞2k3=2(k1)1.

2k1∴当n=k+1时①成立

综上所述，n∈N*时①成立．

通过练习设置，提供给学生更多的解题方法，开拓学生思路。

问题

数学归纳法是证明与自然数命题的有效手段，是不是所有的自然数命题都能用数学归纳法证明呢？

探究三、我们一起来尝试用数学归纳法证明这样一个命题：11111（n∈N+）. 92549(2n1)24探究过程:这是一个与自然数n有关的不等式命题，同学们已经能熟练的运用数学归纳法证明与自然数有关的命题，同学们会很自然的想到用数学归纳法来证明，那么大家不妨严格按照数学归纳法的两个步骤来尝试一下. 同学甲：（1）n=1时，左边=11，右边=，则左边＜右边，不等式成立. 941111+…+<. 2925(2k1)4 同学乙：（2）假设n=k时，不等式成立，即当n=k+1时，左边=1111<.∴n=k+1时，不等式也成立. 2925(2k3)4根据（1）（2），原不等式对n∈N+都成立.

老师：上面的证明正确吗？如果不正确，问题出在哪里？

同学丙：上面的证明不正确，可能是代数变形的方法不对吧. 老师：甲、乙两位同学是严格按照数学归纳法的两个步骤来证明的，这本身并没有问题，真正的错误原因是111+<不成立，此时无法实现由n=k推出n=k+1成立，从而数学2(2k3)44归纳法失效. 通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识

探究结论:数学归纳法确实是我们证明与自然数有关命题的一种有效方法，但它也不是万能的方法，也有它解决不了的自然数命题.我们证明时，究竟选择哪种方法，一定要根据题目的具体情况加以分析，确定有效的方法. 数学归纳法作为我们学习的一种新的证明方法，掌握它并不困难，关键是通过前几项，探索规律，大胆猜想，归纳假设，合理递推，完善证明. (五)、课堂小结

（先由学生总结，最后老师再总结，最后播放幻灯片）

附数学归纳法打油诗一首：

两个步骤一结论，

递推基础不可少，

归纳假设要用到，

结论写明莫忘掉。

(六)、作业：

1、f(n)1111n(nN),用数学归纳法证明f(2n)时，从nk到nk1,23n2不等式左边增加的部分是（ ）

111111

B,KKKKKKK21222221222K11111

KKC,K1 D,K212222K12A,2、设数列{an}满足a1=2，an+1=an+1

（n=1，2，…）

an（1）证明an＞2n1对一切正整数n都成立；

（2）令bn=ann

（n=1，2，…），判定bn与bn+1的大小，并说明理由

七、设计反思

人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，

蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

本节课在教法上贯彻如下几个原则：

一是建构主义原则。皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。如从多米诺骨牌游戏原理学生归纳、总结而得出数学归纳法证明的的两个步骤。

二是寓教于乐原则。实践证明，学生在积极愉快的情形下，学习效率会大幅提高；在宽松的情形下，能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。结合本节课特点，将知识性与趣味性相结合，以一题多解，以吸引学生喜欢数学，调动学生的解决问题的积极性。

三是遵循循序渐进的原则：学生对思维跳跃大的问题理解比较困难，不易接受，例如数学归纳法证明不等式的怎么进行放缩，课堂上通过由浅入深，逐层铺垫来分散难点，引导学生“渐入佳境”。