学习总结报告第二课时教学设计

浅谈数学复习课教学设计与创新

河北省万全区万全中学 张彦

复习就是再现学习过程，将已学知识加以梳理，纳入整体知识系统之中。复习课是教学教学诸环节中必不可少的一种课型。然而，复习课在教学中并不讨人喜欢，师生都不钟情它，

老师吃力不讨好，学生苦不堪言；

相对于新课，复习课确实更

难上些，

因为新课是在学生未知的情况下进行教学，学生有种天然的渴求与向往(神秘感)，此时学生犹如一张白纸，你怎书写，他就怎显示。学生处于被动而又积极的状态。而复习课是在学生有点懂，但又是懂非懂的情况进行教学，学生是半壶水心态，纯粹的老调重弹，学生不感兴趣；要上出新意来，那就更要用心。也就是在复习课的教学设计上要有所创新。

目前，复习课的教学有两种偏向：

一种是不进行知识技能的整理，以

题

海

代

复习

。把市场上各种铺天盖地的现成试卷，老师每天撕一张印一下，让学生做，做完，再撕一张印一下，学生再做………就这样，周而复始的对知识进行狂轰滥炸。

另一种

是复习

整

理

干

巴

巴

，例

题

练

习

呆

板

板

。教师讲得累

，学生听得苦。我曾经听过一节不等式的复习课，执教老师花了25分钟复习不等式的性质、重要不等式(延展)及不等式的解法，然后用10分钟练习了两道题，又花了5分钟点评，明显的，前25分钟学生的积极性不高. 课后我找这位老师交换意见，她对前25分钟的知识整理，也觉得很矛盾、纠结，不整理，怕学生忘了；整理，又怕学生不愿听。

我认为，知识整理是复习课的任务，但是，形式上可以多样化，可以活泼些，以数学题带知识复习，是一个好办法。具体做法是：精选例题，解题前，将涉及的知识点特别指出，并将它们一一板书。做题时，这些知识立竿见影，学生尝到甜头，这样，我们的复习效果就会倍增。

华罗庚先生提出了“厚薄说”，指出读书应该有两个阶段，先是由薄到厚，再是由厚到薄；后面的“薄”，就是知识整理

。

对于数学解题，要不要整理？张景中院士有个“中巧说”，他说：“练武功的上乘境界是无招胜有招。但武功仍要从一招一式入门，解题也是如此。”

张院士又说：“这种”无招胜有招的境界，就是大巧吧，小巧固不可取，大巧又确实太难，对于大多数学生来说，还是要重视有章可循的招式。

张院士还说: “大巧法无定法，小巧一题一法，中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目，也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法。”

并说，这是我国古代数学的特点，也是一种优良传统。我把这种中巧说，叫做解题模块，解题模块总结好，题海战术或许就没有必要了，不要把创造性与“中巧说”对立起来，整理解题模块也深含创造性的因素，我们要学习“中巧说”，落实“中巧说”。

当然，任何方法都是有利有弊的，如果把“中巧说”变成死套类型，这就不对了，怎么充分的扬其长，避其短呢？我认为一是要引导学生自我总结整理，这样可以大大提高学生的归纳能力，对解题模块的理解也一定比较深刻；二要适度的一题多解，让思维飞一会儿，做到既要有模块，又不被模块框死，这样才能成就大巧。

近几年，我们同省内外的同行，进行了这方面的摸索与尝试，积累了一些教学案例，今天我把它整理出来，希

望

从

这

些

案

例

出

发

，试图去寻找数学复习课教学的几类不同的形式，不妥之处，敬请斧正。

1

一、以新的知识内容为线索把旧知识贯穿

案例1 《一元二次方程根的判别式和根与系数关系》的复习课

(同课

异

构)

A老

师

的

教

案:

一 、一元二次方程根的判别式

1、判别式的推导与识记

2、利用判别式，不解方程判断一元二次方程

(包括含字母系数的一元二次方程)的根的情况

3、根

据一元二次方程的根的情况与判别式，确定含字母系数的一元二次方程中字母的值或取值范围

4、综合题 :

讨

论

有

没

有

实

数

根 二、一元二次方程的根与系数的关系

1、求出一元二次方程的两根之和与两根之积

2、验根

3、已知一元二次方程的一个根，求另一根及字母的值

4、计算有关两根的代数式的值

5、根据已知两根，求作一元二次方程

6、不解方程，由已知方程和题设条件作出新方程

7、已知两数和与积求出这两个数

8、综合题:

在

这

两

个

部

分

里

，老

师

一

共

准

备

了17道

例

题 (省

略 )

，最

后

是小

结

。

B老

师

的

教

案:

例1

请

同

学

们

观

察

方

程2x2－3x－4=0

，得

出

结

论

或

提

出

问

题 (

师

生共

同

完

成 ) 例2请

同

学

们

给方

程2x2－3x＋m=0

加一个条

件

确

定m的

值

或m的

取

值

范

围 (

师

生

共

同

完

成 ) 在讲

例1时

，经

过

师

生共

同

活

动

得

到

的

结

论

和

提

出

的

问

题

涉

及

了：

①

方

程

的求

根

，

②

判

断

根

的

情况

；

③

求

两

根

和

与

积

；

④

判

断

两

根

符

号

，

⑤

以及

根

的

绝

对

值

大小

；

⑥

求

代数式x12＋x22的值；

⑦

求作新方程，

⑧

使根等于原方程两根的相反数；

⑨

两数之和3，积是－2，求这两数；

2⑩

最后老师出了一道难一些的题：已知a≠b，2a2－3a－4=0,，2b2－3b－4=0，求a2＋b2的值。

在

讨

论

例2时

，师

生

们

也

得

到

了

很

多

条

件

，如 :

①

用

两

相

等

实

数

根

，求m

；

②

x12＋x22=

9，求m

；

2③

设一个根

是1，求m

……. 在

讨

论

中

老

师

插

话

指

出

所

提

问

题

或

所

得

到

的

结

论

相

应

的

知

识

点。

2

案

例2 《

函

数的基本性质

》复习

课

在

学

习

了

函

数

的

基

本

性

质

后

，有

必

要

对

这些

内

容

进行复习与整

理，函数f(x)x1恰x好提供了一个生动的例子，它的基本性质及其拓展是进行探究性教学的良好素材，它与后续要学习的基本不等式有着密切的关系。下面呈现的是一节关于函数的基本性质的探究型复习课的教学设计的主要流程。

问题1

关于函数f(x)=x＋1的基本性质，我们知道了什么？未知的有哪些？如何

探索？关键在作图，x在讲评学生所画的图形的基础上，教师

展示用几何画板所作的函数图像。师生共同

口述，写出函数的单调性、值域，如表1所示。 表1

区间

单调性

值域

(－∞，－1] 增函数

(－1, 0) 减函数

(－∞,－2]∪[2,＋∞]

(0, 1] 减函数

(1, ＋∞)

增函数

教师要指出的是函数的单调性的分界点, 仅仅是直观的判定，还需要严格的证明，证明过程由学生板演完成。例如，求证函数f(x)x1在(0,1)上为减函数证明。

x问题2

求函数f(x)x1的单调区间。

xan

(a>0), h(x)mx(m>0,n>0)的单调区间

xxa(a>0)的单调性求得)。

xa(a≠0)的图像、单调性与奇偶性，列出表格加以说明。

x1(x>0)的最值；

x问题3

求函数g(x)x(用变量替换法由g(x)x问题4

总结函数g(x)x问题5

①求函数f(x)xx22x②求函数f(x)③求函数yxx12在[1, +∞)上的最值；

1在[－2, 2]上的最值。

|x|函数g(x)xa(a≠0)的图像及其性质并非课标中要求掌握的内容，我们这里强调的是研x

3

究函数性质的方法与技能，旨在通过研究函数g(x)xa(a≠0)性质的过程复习函数的奇x偶性、单调性、最值等概念及它们与函数图像之间的关系，经历这样的过程对于函数的基本性质及其他们之间的关系有较深刻的认识，同时使学生体验由特殊到一般的归纳过程，体会抽象出数学命题的过程与方法，这样既对原有知识内容进行了点拨，也就在较高层次上达到复习课的教学目的。

二、以新的逻辑顺序、思想方法为线索把旧知识进行归纳、整理

案例3《等差、等比数列》复习课。

1)设置情境理解类比推理的概念。

2)复习回顾等差数列与等比数列。可以先一起复习等差数列，让学生利用类比的思想自行得出等比的相关概念。通过这一回顾，使学生体会到等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。

3)运用类比推理进行探究。在认识了运用类比推理进行探究的方法之后，教师设置了如下若干性质探究的问题供学生思考。

问题1

在等差数列{an}中，若

a10=0，则有a1＋a2＋a3＋…a7= a1＋a2＋a3＋…＋a12，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b10=1，则有

。

问题2

已知等差数列{an}的前n项和为Snna1n(n1)d，用类比的方法，写出等比2数列{bn}的前n项积的表达式Tn=

。

问题3

等差数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，则当bna1a2...an时，数n列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，

当dn=

时，数列{dn}也是等比数列。

问题4

若{an}为等差数列，则{ an+1＋an}也成等差数列。由此经过类比，若{bn}为等比数列你能得到什么结论？

问题5

若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk

,S2k－Sk

,S3k －S2k也是等差数列，在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？

类比推理的方法对学生来说是比较难的，很多学生不知道从何处去类比，数列是一个比较好的题材，通过有关问题的解决，既加深了对等差数列与等比数列的认识，又让学生对类比的方法、实质有所体验，还可让学生体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。这样的教学设计，使得类比的思想始终贯穿在等差、等比数列的复习中，知识重现的

逻

辑

顺

序

发

生

了

变

化，不

再 是

以

前

的

先

等

差

数 列

的 通

项、求

和，再

等

比

数

列

的

通

项 、求

和。这 样就从另一个角把知识

内容

进行了整理，课中

始

终贯穿类比推理这一条新的线索，学生在思维上经过反复的类比、验证，自我领悟并掌握类比的思想方法，这样的处理方式使得这节课整体感很强，不是东敲西打，也不是面面俱到，克

服了平

常复习

课

比

较 容

易

犯

的

毛

病，体

现了教学过程中教师站在比较高的角度处理问题。

4

三、以新的问题角度为线索把旧知识进行串联

1.以开放性问题为引领

案例4 《直线与圆锥曲线的位置关系》的复习课

x2y21交于A、本课围绕这样一个问题展开：“已知a+b=1，直线l：y=ax+b和

椭

圆C：42B两点，______（请你添加条件），求直线l的方程。”

在这个问题的讨论中，师生也得到了很多条件，如过焦点的弦，弦的中点，弦的长度、交点与原点所连的三角形的面积等等。在讨论中教师插话指出所提或所得到的结论相应的知识点。这样的教学设计更多地让学生参与，这是新课程改革所提倡的，而且这种参与不仅仅是回答教师提出的问题，而是与老师一起编制题目。让学生回答问题，与要求学生编制题目，是水平不同的两种参与。让学生回答问题，答案是封闭的，学生的思考是很有限的和被动的；而编制问题时，学生必须回忆思考这单元的结构，对照过去的问题，可以提出五花八门的问题 ，是一种

主 动 参 与 ，思 维 是 开 放 的 。通 过

这

个

问 题 多种

方

案 的 解 决 ，一方面可以复习相关知识，另一方面可培养学生提出问题、发现问题的能力。

2.从另一个角度提出问题

案例5 《直线与抛物线》复习课。 1)问题认知情境创设。

复习回顾抛物线的定义，提出如下引例：

引例

P(－11，a) (a≠0), T (, 0), 抛物线y2=2x，判断线段PT中垂线与抛物线的位置关系。

222)问题探究与变式。

问题1

已知P(－1，a) (a≠0)，T (1, 0), 抛物线y2=2x, 是否存在a的值，使线段PT中垂线与抛物线相切？

问题2

设P(－1，a) (a≠0)，T (1, 0)所在直线交抛物线y2=2x于A、B两点

①当a=2时，求弦AB的长；

②判断命题q: “若a=2时，则OAOB=－1”的真假

y P A -1 N O H T 1 x M B

图1

5

变式

判断它的逆命题的真假，并说明理由。

问题3

弦AB的

中点为M，MN垂直直线x= －1于点N，线段MN的中点为H，如图1。图1 ①判断点H是否在抛物线上；

②过H与N

O垂直的直线为m，当a变

化时，直线m是否有可能是抛物线切线？

问题1是在引例的基础上进行引申，以探索的提问方式，更加激发求知欲望，并通过与引例的关系，突显判断直线与抛物线位置关系的方法与思想本质。

问题2是进一步体会韦达定理的整体思想在相交问题中的作用，并让学生感悟“消元”中简化计算的方法，及与其他二次曲线的区别。通过问题3进一步感受“解析法”中用代数方法解决几何问题的思想本质，通过抛物线中的优美结论，感悟抛物线中的美。

事实上，这一课题有两个维度：从知识点来说，

《

直

线

与

抛

物

线

》中有

直

线

与

抛

物

线

的

交点个数（位置关系）问题、焦点弦、一般弦问题，还有弦的中点等问题，一般是先联立方程组，消元，然后是判别式，再是根与系数的关系等；

另一个维度就是从提问题的角度考虑，有 正

面（

直

线

抛

物

线

方

程

已

知，研

究

有

关

性

质）的

和 反

面（方

程

里

含

参数 的，因

此

方

程

不

完全确定，反 过 来 由 位 置 关 系 的 某 些 特 点 来 确 定 参 数 ）的。可 以 从 第一

个 维 度出 发，以 知

识 点为线索进行复习，穿插正反方面的问题，也可以以提问题的正反角度组

织复习，穿插知识点。后者的教学符合华罗庚提出的“从另外一个角度进行复习”的经验，因为后一种方式一会给学生带来新鲜

感，二会让学生学会多角

度思考问题

，第 三 ，就 这

一

单 元

而 言，如果说知识点

——直线与抛物线的位置关系本身比较复杂的话，那么更复杂的、更难的是怎样运用这几个知

识点，这 样 的

复习 抓

住了

运 用

，因 此 可 能 更 击 中 要 害

。问 题 的

正

反

两 方 面 的

提 法

，往往是数学问题的基本构思，解析几何的两个基本问题就是：已知方程研究曲线及其性质；已知曲线的性质求方程，这样的复习有深远的意义。

总之，复习课应该整理知识、技能，但角度可以有变化；形式上、方法上可以多样化活泼些，以数学题带知识复习是一个好

办

法，但

是

怎

样

选

题，以

什么为

线

索

选 题 却

大

有

学

问，否 则

容 易 上

成 习 题 课。以

另一线索组织教学内容，要求让学生参与；最好还要有点拨与总结，有新东西，像华老所说的“生

书 熟 讲，熟 书 生

讲，”似 乎 在 复

习，但 把

新 东

西

讲

进

去了。要 做 到这 样，还 需 要 广 大

教师研究新课程，积极探索复习课的创新设计。

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