1.3 二项式定理（通用）教学实录

《二项式定理》教学设计

高二（7）班

王保友

课题

1.3.1 二项式定理

教材二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的分析

乘方的展开式．这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用．学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法． 学生学生为平行班学生，有一定的数学基础．学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法分析

的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容．

教学目标

知

识

技

能

过

程

方

法

情感

态度

和价

值观

理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用

通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验

通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般

到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．

教环多媒体教学环境

境学

预期效果分析

通过本节课的学习，在知识面上，期望学生能够理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；在思想和能力面上，期望通过教师指导下的探究活动，使学生经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，培养合作的意识，获得学习和成功的体验；通过对二项式定理内容的研究，使学生体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程，通过对二项展开式结构特点的观察，使学生体验数学公式的对称美、和谐美．

二项定理的推导及运用

1．二项式定理及通项公式的运用 2.展开式中某一项的系数与二项式系数的区别

教学教学重点

重点难点

教学难点

教

学

过

程

设

计 教学内容

教学手段与方法

教学手段与方法

学生学习活动 设计宗

旨与意

图

新课学习

启 发 提 问 【创设问题情境】今天是星期一，7天【回答】7天和15天后 后是星期几，15天后，8100

天后呢？ 【思考】8100 天后是星【问题1】： 期几？

（a+b）2 =( a+b)( a+b)的展开式有多少项？ 【问题2】：

（a+b)3 = ( a+b)( a+b)( a+b) 的展开式有多少项？

【问题3】：（a+b）4

=( a+b)( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？

你能准确的写出这些项吗？

亲自展开

（1）星期几以7为周期计算

（2）8100 =(1+7)100 为引入（a+b）n

做准备 为后面的证明做准备

讲 授 探 究 【启发类比】4个袋子中各有红球a 白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？

各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中

（1）若每个括号都不取b 只有一种方法得到a4,即C40种。

（2）若只有一个括号取b共有种方法C41取到 a3b。

（3）若只有两个括号取b共有种方法C42取到 a2b2。

（4）若只有三个括号取b共有C43种方法取到 a1b3。

（5）若只有四个括号取b共有种方法C44取到 a0b4。 引导学生发现：原始展开式中确实有同类型存在，且可合并

因此：

【问题4】： (a+b)n的合并后的展开式中an-rbr的系数是多少？有何理由？

那么该如何轻松清晰的将展开？请同学们归纳猜想。

理解袋子和括号的相同点

为证明二项式定理做铺垫

根据 (a+b)n

展开式归纳

学生很轻松的根据前面的过程写出其展开式 学生根据袋子中取球的例子回答。

这是后面证明的关键

合作【证明思路】：主要运用数学计数原探究

理

（1）展开式中为什么会有哪几种类型的项？

（2）展开式中的各项的系数是怎么得来的？

讲 授 【板书】：一般的对于任意正整数n 下面的关系式成立：(a+b)n =Cn0an+Cn1an-1b1+…Cnran-rbr+…Cnnbn

说明：（1）公式的左边叫二项式，右边叫二项展开式 （2）二项式中的a，b只是一种符号，可以是任意的数或者式子，只要是两项和的n次幂的形式都可以用二项式定理归纳展开式的特点：

（1）项数是n+1项

（2）系数

都是组合数,依次为Cn0, Cn1,…, Cnn (3) 指数的特点 a的指数

由n  0(降幂)。 b的指数由0  n（升幂）。 a和b的指数和为n。

(1)板书的示范作用 (2)归纳出系数的特点才能记住二项式定理

展开。

例

题讲练

【学以致用】：你现在能知道8100 天后是星期几吗？（星期二）

【例1】展开（1+2x）5

（完整板书）

思考: 展开（1-2x）5

学生会很快得出8100= (1+7)100

展开进行计算 学生先练， 老师后讲 二项式定理的

直接应用

启 【练习】5发 （1）（.12x）展开式第3项是（2）.第3项的二项式系数是

分清本题的各项的系数和

和二项式的系数和的区别

【例2】用二项式定理展开下列各式：

学生先练， 116老师后讲

(1)(1)4(2)(2x)x

x【例3】求（x+a)12的展开式中的倒数第4项

【练习】

62x3y）的展开式的第三项

1.求（变：

6求（3y2x）的展开式的第三项

732.求

x



2

x

的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

二项式定理的

直接应用

启 发

小

结 1． 本节主要学习了《二项式定理》的展开式的特点和证明方法。 2． 学习了《二项式定理》在解题中的应用。

其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等

学生小结

老师补充

让学生进一步明白二项式定理的内容和应

用