探究与发现 组合数的两个性质名师课堂实录

组合的应用

铜梁中学—王平华

教学目标：

1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；

2、能够解决一些组合应用问题

教学重点：

解决一些组合应用问题

教学过程

一、复习引入：

来源: ]1.1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做m从n

个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．

Cn．．．3．组合数公式的推导：

m（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：①

先求mm从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；②

求每一个组合中m个元素全排列数Am，mmm根据分步计数原理得：An＝Cn．

Am（2）组合数的公式：

n!Anmn(n1)(n2)(nm1)m或Cn(n,mN,且mn)

Cmm!(nm)!Amm!mnmnm4.组合数的性质1：Cn．

Cnmmm15.组合数的性质2：Cn．

1＝Cn+Cn二、讲解新课：

典例分析

例1．将1，2，3，…，9这9个数字填在如下图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为(

)

3

[来源: ]

4

A. 6种

B. 12种

C. 18种

答案：A 解析：第一行从左到右前面两个格子只能安排1，2，最右下角的格子只能是9，这样只要在剩余的四个数字中选取两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中

(由小到大)，故总的方法数是C24＝6. 例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

14325解：分为三类：1奇4偶有C6，

C5

；

3奇2偶有C6C5；

5奇1偶有C6来源: ]D. 24种

14325∴一共有C6C5+C6C5+C6236．

例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其

中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

22①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C4C3；

31②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C4C3；

32③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C4C3，

312232∴一共有C4C3+C4C3+C4C3＝42种方法．

例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表

？

221211解法一：（排除法）C6C42C5C4C4C342．

22解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有C4C3；

另一类为甲不值周一，但值周六，有C4C4，

1222∴一共有C4C4+C4C3＝42种方法．

12例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

2解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有C6种方法；

5第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有A5种方法．

25根据分步计数原理，一共有C6＝1800种方法

A5例6、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

[

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．

解：(1)无序不均匀分组问题．

先选1本，有C1再从余下的5本中选2本，有C2最后余下3本全选，6种选法；5种选法；1有C3C2C33种选法．故共有分配方式C6·5·3＝60(种)．

(2)有序不均匀分组问题．

由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式1C6·C2C3A35·3·3＝360(种)．

(3)无序均匀分组问题．

先分三组，则应是C2C2C2但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，

B，C，6·4·2种方法，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C2C2C2CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，6·4·2种分法中还有(AB，EF，3AB)，(EF，AB，CD)，共有A33种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此C2C2C26·4·2只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．

3A3C2C2C26·4·2(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A333＝A32C6·C2C24·2＝90(种)．

(5)无序部分均匀分组问题．

C4C1C16·2·1共有分配方式＝15(种)．

2A2(6)有序部分均匀分组问题．

C4C1C16·2·1在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A323＝90(种)．

A2(7)直接分配问题．

1甲选1本，有C16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C5种方法；余下4本留给丙，114有C4C5·C4＝30(种)．

4种方法．共有分配方式C6·课堂小节：本节课学习了组合的应用

课堂练习：

1．

已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成的集合

个数为(

)

[来源:]

A．24

B．36 C．26

D．27 解析：分三类：

11第一类：选集合A、B可组成C4C3＝12个集合；

1第二类：选集合A、C可组成C14C2＝8个集合；

1第三类：选集合B、C可组成C13C2＝6个集合．

由分类加法计数原理，可组成12＋8＋6＝26个集合．

答案：C 2．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？

(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？

(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24(种)．

(2)∵总的排法数为A55＝120(种)，

1∴甲在乙的右边的排法数为A5＝60(种)．

25(3)解法一

每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有C22＝42(种)；

7×若分配到3所学校有C37＝35(种)．

∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．

解法二

10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．

所以名额分配的方法共有84种．