小结优秀教案

《基本不等式》教学设计

设计：

高一数学备课组 时间：2016.4.22 学案编号：2016(1)G10201

班级： 姓名： 学习小组： 【学习目标】

（1）

了解基本不等式的证明过程。

（2）

会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

【学习重点】

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

【学习难点】

用基本不等式求最大值和最小值。

【知识结构】

基本不等式的几何背景

︱

ab基本不等式：ab≤

2 ︱ ︱

基本不等式的证明过程

基本不等式的应用

【学习过程】

引入

探究1

在正方形ABCD中有4个全等的

直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为

GHaDa、b,那么 FCAEab22bB

①正方形ABCD的面积S= ②4个全等的直角三角形的面积S′= ③S与S′的大小关系为 问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？

22利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab

问题2、上式能否取到等号？什么时候取等号？

当且仅当a＝b时，等号成立

新课

(一)、基本不等式的探究

根据探究1得到

1

1、重要不等式

问题1、如果用a,b去替换上述结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件？

问题2、替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？你能给出证明吗？

2、基本不等式

（＊）

你能根据不等式的性质分析推导出（＊）式吗？

abab

①

要证

2只要证

ab

②

要证②，只要证

ab

0 ③

要证③,只要证 ( - )2

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立

怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即ababab；

2仅当a=b时，取等号，即ababab。

2

通过ppt课件，让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：

(二)【归纳总结】

若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22ab称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何2我们称此不等式为基本不等式。

其中平均数。

2

探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式ababab(a,b0)ab(a,b0)22的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

(三)、初步运用，归纳提升

例1下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b，均有ab2ab；

②当x0时，由于1x22x，当且仅当1x2时，即x=1时，等号成立。所以函数y1x2(x0)的最小值为2；

例2、已知x>0，y>0且x y=100,则x+y的最小值是_______，此时x=___，y=_____ 例3、已知

a,b

是正数且

ab4，求

ab

的最值

.简记为：“一正、二定、三相等”。

(四)、领悟练习：

(1)已知x>0 则

（2）.已知x>0，y>0且x+y=100,则xy的最大值是

_______，此时x=___，y=_____ .

fxx1x的最小值为____,此时x_________.（学生指出正、定、等）

（3）求函数fx2x1x1x1的最小值_______

。

(五)、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

一个不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

(六)、布置作业：

(七)、课下思考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

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