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广州第十六中学2013-2014学年

青年教师同课异构活动

《线性规划专题复习》教学设计 （高三第一轮总复习）

授课教师：郭施敏 数学科组

指导教师：徐恒善

2013年10月

同课异构教学设计《线性规划专题复习》

《线性规划专题复习》（第一轮总复习）教学设计

广州第十六中学

数学科组

郭施敏

一、内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一轮总复习。主要内容是线性规划问题相关概念和解法以及线性规划问题的综合应用。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。线性规划以及线性规划简单的延伸，是解决二元函数的最值问题的有效途径。

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想。

二、教学重点

考纲的研读：了解二元一次不等式所表示的平面区域;了解线性规划的意义,并会简单的应用。

基于以上研究，制定本节课的教学重点：线性规划问题的图解法；以及线性规划问题的综合应用。

三、教学目标

◆知识与能力

1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

2.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值；

3.与向量、函数、数列等知识的综合应用。

◆过程与方法

1.培养学生观察、联想、作图和综合运用知识的能力，渗透化归、数形结合的数学思想。

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同课异构教学设计《线性规划专题复习》

2.培养学生自主、合作、探究的学习模式，在已有的知识结构基础上，经过课堂学习对线性规划问题的理解更深刻和解决问题的能力有所提高。

◆情感态度与价值观：

1.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；

2.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识； 3.体现新课程标准的以人为本，激发学生的创新精神，鼓励学生积极参与课堂学习，使每个学生都得到发展；

四、教学问题诊断分析

本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：

（1）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题及如何想到这样的转化；

（2）线性规划问题的适当延伸，理解不同形式下代数式的几何意义，数形结合思想的深入理解；

（3）综合运用向量、函数和数列等知识把问题转化为线性规划问题。

为此教学中教师要为学生精心创设探究情境和问题，并作适度的引导，通过例题的展示和一系列的变式训练，帮助学生通过观察和积极主动思考，对线性规划有更深刻的理解；借助于动手画图，几何画板展示等形式进行深入探究，对线性规划问题的解决能力有进一步提高，解决此类问题积累更丰富的经验。 教学难点：将代数问题转化为几何问题解决，综合运用数学知识解决线性规划问题。

五、教法分析

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等。

本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。

（1）通过课前热身，帮助学生复习二次不等式与平面区域的关系为本节课做好知识铺垫； （2）通过例题展示，使学生对图解法解决线性规划问题有更深刻的认识；

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（3）通过精心设计的变式训练，提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生体会数形结合的思想，对线性规划问题的延伸有了更宽的认识。

六、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台完成以下教学过程：

（1）将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值。

（2）在斜率和距离的理解上，直观展示定点与目标区域的关系。

（3）综合运用指数函数知识，发现动态的非线性目标函数与静态的平面区域的关系。

适度使用多媒体教学，让学生体会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系。

七、教学过程

（一）知识梳理，温故知新。

1．二元一次不等式表示平面区域：

二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域（不包括边界）．

（1）同侧同号，异侧异号；

（2）直线定界，特殊点定域；

2．简单线性规划问题的概念：

（1）线性规划的定义：一般地，求线性目标函数（关于变量x,y的线性函数zaxbyc，称为线性目标函数）在线性约束条件下（关于变量x,y的二元一次不等式（组），称为线性约束条件）的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。

（2）可行解：满足线性约束条件的解(x,y)；

可行域：由所有可行解组成的集合；

最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解。

3．简单线性规划问题的解法：

解决简单的线性规划问题常用图解法，图解法的基本步骤如下：

一析

（分析z的几何意义）；

二画（即作出可行域，并作出直线l0:axby0）；

三移（即确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点），

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四求（即解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值）。

【设计意图】数学是现实世界的反映，数学知识对生活的实际帮助以及在数学问题的解决下如何一脉相承。引导学生了解线性规划问题是解决二次函数最值问题的有效途径以及生活中优化问题的现实意义，激发学生对课堂学习的兴趣。紧接着温故线性规划的相关知识，做好本课专题复习课的知识准备。

（二）课前热身，知识铺垫。

1．不等式x2y60表示的平面区域在直线x2y60的（

）

A．右上方

B．右下方

C．左上方

D．左下方

解析：选B 2．不等式组

10x2y20表示的平面区域是（

）

xy30101010yyyy555531-10313x103133031-2o-1020-2ox10-10-220o3x3010-1020-2o330x10203-5-5-5-5

A B C D 解析：选A。特殊点定域，排除法。

-10-10-10-10x2y22x2y103.不等式组0x2所表示的平面区域记为D,则平面区域D的面积为

0y2【解析】平面区域D的面积为:

4

(关注：以解析几何、三角中的曲线作为区域边界的非线性约束条件) 师生活动：学生分组讨论，小组汇报答案。教师PPT展示完整解题过程。

【设计意图】数学知识是一脉相承的，温故线性规划的相关知识，为本节专题复习课做好知识准备。

y

2

1

0 1

2 x

（三）例题辨析，巩固知识。

x4y3例题：设x,y满足约束条件3x5y25，

x1（1）求目标函数z6x10y的最大值与最小值；

（2）求目标函数z2xy的最大值与最小值．

【解】（1）

10y5CAB131

- 4 - -10-3o10x20-5l0

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①z6x10y10y=6x+zy=10倍。

610x+z即截距为1z，z的几何意义为：截距的10102251②作出可行域，如图1，并求得A（5，2），B（1，1），C(1,③当把直线l0向上平移时，所对应的z随之增大，

当把直线l0向下平移时，所对应的z随之减小．

令z0，作直线l0:6x10y0。

)。④由图可得，当直线l0的平行线与直线3x5y25重合时，即平行线经过A（5,2）或C(1,)

522z取得最大值，zmax6510250,；

当直线l0的平行线经过点B（1，1）时，z取得最小值，zmin6110116．

故z的最大值是50，最小值是16。

（2）①z2xyy=2xz，截距是-z，z的几何意义为：截距的相反数。

②作出可行域，如图2，

22C(1,)。令z0，作直线l1:2xy0．

并求得A（5，2），B（1，1），105③当直线l1向上平移时，所对应的z随之减小，当直线l1向下平移时，所对应的z随之增大．

④由图可得，当直线l1的平行线经过点A(5,2)时，z取得最大值zmax2528,；

当直线l1的平行线经过点C(1,zmin212212。

555yl15CAB131-3o225)时，z取得最小值-1010x20-5故z的最大值是8，最小值是12。 【小结】1二元线性规划可以解决二元函数的最值问题；

-102线性规划图解法的步骤：析、画、移、求。分析z 的几何意义至关重要。

3当可行域是封闭的多边形内部区域，最优解常常发生在多边形顶点。

4第一问解答中，最大值的最优解有无数多个，因为l0:6x10y0与边界3x5y=25平行。

教师提出思考问题：

（1）若问题（2）中x，y均为正整数，对结果产生什么影响；

（2）若问题（2）中，对结果产生什么影响。

“3x5y25”改为“3x5y25”师生活动：教师展示线性规划问题的规范作答，学生共同动手画图完成。例题展示完成，教师引导学生总结线性规划问题的解题步骤以及各类注意事项。最后通过思考教师提出的问题，学生对边界的确定更为慎重，对整点问题有初步认识。

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同课异构教学设计《线性规划专题复习》

【设计意图】例题展示既可规范作答格式，又帮助学生深刻理解数形结合的思想。让学生体会如何把代数问题转化为几何问题，以及在例题解答中产生最优解有无穷多个，引导学生积极思考和获得产生最优解有无穷多个情况的直接经验。而在例题讲解完，提出两个思考问题，使学生更加严谨对待边界实虚的处理以及整点问题方法的研究。同题研究多个问题，使课堂效率大大提高。

（四）变式思考，拓宽解题视野

例题的变式训练，在线性约束条件不变的情况下，根据以下不同的目标函数完成以下练习：

x4y3设x,y满足约束条件3x5y25，

x1<变式1>目标函数z=mxy（m>0），z取得最大值的最优解有无穷多个，求m的值。

11解：l0斜率m，l0:mxy0与l1:x4y3平行，kl0m，kl1， m.

44<变式2>求z2xy的最大值和最小值。

解：令t2xy，t212,8，故z0,8zmax8，zmin0. 52<变式3>求z=x3+y的最大值和最小值。

解：z几何意义：x,y到3,0的距离的平方。记x,y到3,0的距离为d 366

zmin=d12 2116172dA222228，

dB222125，dC2zmax584

25y1的最大值和最小值。

x122584，

222552<变式4>求z解：z几何意义：x,y到Q1,1的斜率，

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同课异构教学设计《线性规划专题复习》

zmaxkQC221172115

 zminkQA516210师生活动：教师引导学生如何把代数问题转化为几何问题过程，运用几何画板和PPT展示动态。学生自主观察，动手操作，教师引导学生总结代数式的各种几何意义。

【设计意图】一题多变，大大提高课堂效率。通过观察、联想、思考、讨论，找到各题的解决方法。借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，建立精准的数形联系。同时二元函数的最值问题转化为点点距、点线距、斜率等几何最值问题。加深学生对线性规划问题的理解，使学生感受代数与几何的密切联系。

（五）独思共议，综合应用探究成果

xy2课堂练习1、（1）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域上x1y2的一个动点，则OA·OM的取值范围是（ ）

A．[-1．0]

【解析】C zxy,l0：y=x.l0平行线经过C（0，2）zmax=2

l0

平行线经过A（1,1） zmin=0B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]

xy2（2）设x，y满足x1，求z2x2y1,求z的最大值和最小值。

y2【解析】：z（2xy）+1,令t=xy；z=2t+1，t0,2 zmin=1，zmax=5

师生活动：学生自主完成，分小组汇报答案。学生利用例题总结“3当可行域是封闭的多边形内部区域，最优解常常发生在多边形顶点。”的经验，将顶点代入解决。教师点拨第二问的换元法解答。

【设计意图】通过与向量知识的综合应用，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构。通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力。并在练习1的第（2）小问中，渗透换元思想。

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x2y-190课堂练习2、已知x、y满足x-y+80平面区域M，使函数yax(a0且a1)的图2x+y-140像经过区域M时的a的取值范围___________

解析：画出可行域，求出A（1,9）此时a=9；C（3,8）此时a=2；几何画板显示a从2增长至9的图像痕迹如图。

答案a2,9

师生活动：学生独立思考后，汇报各种解答思路。教师利用几何画板动态演示由a变化，引起目标函数的变化，从而影响目标函数与可行域的几何关系。学生通过老师的演示，分享自己对a变化的感受，以及总结此类问题的研究。进而留下思考题：若目标函数固定，可行域变化，该如何解决。

【设计意图】教师预先画好可行域，突出考查重点，提高课堂效率。目标函数是指数函数，提高学生对非线性规划问题的认识。教师设计参数a，引导学生寻求解决动态目标函数问题的方法。通过与指数知识的综合应用，拓宽学生视野，提高综合运用数学知识的能力。

课堂练习3、（1）已知实系数方程xax2b0的一个根大于0且小于1，另一个根大2b2于1且小于2，求的取值范围．

a15f(0)0【解】令f(x)x2ax2b，依题意有f(1)0，f(2)0b0即a2b10. ab20

以a为横坐标，b为纵坐标建立直角坐标系．

作出可行域如图，并求得A（-3，1），B（-1，0）．

设P(a,b)是可行域内的任意一点，Q为定点（1，2），则-443b2Q(1,2)A(-3,1)311B(-1,0)-2-1o-1a2b2kPQ．由图可得kAQkPQkBQ，即a11b21kPQ1，∴的取值范围是(,1)

4a14

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11(2)设f(x)x3ax22bxc,,若当x(0,1)时, f(x)32b2取得极大值,当x(1,2)时,f(x)取得极小值,则的取a143b2Q(1,2)值范围是 【解析】依题意知:该问题可转化为f(x)0的两根分别在(0,1)和(1,2)内,因为f'(x)x2ax2b,由方程根分布f'(0)0知识得f'(1)0问题转化为在线性约束条件'f(2)02b0b2b2的取值范围。求得的取值范a2b10下,求a1a1ab20-4A(-3,1)'311B(-1,0)-2-1o-1a2-2-3-41围为(,1)

4师生活动：独思共议，引导解决问题的方法。教师引导下回顾方程根与零点知识，将函数问题转化为线性规划问题解决。难点突破后，继续提出练习3的第（2）小问，极大引起学生的兴趣。第（1）小问的完整解答，以投影学生成功为主，教师修正个别表达不完善地方。第（2）小问，引导解答思路，让学生课后作为作业继续完成。

【设计意图】综合运用函数知识，揭开线性规划问题的面纱。看似很复杂问题，通过教师引导后，学生豁然开朗，逐步清晰解题思路。从稍有困难，到很大困难的阶梯式问题设置，极大提高学生兴趣，树立学生解决数学问题的自信心。

（六）课后检测yx11、在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为_____。y3x1332.......A.2........B..........C.........D.2.......22xy42、设点P（x,y)满足yx，O为坐标原点，则PO的最小值为____，最大值为____。x1xyz13yz2

3、设x，y，z满足，则U2x6y4z的最大值和最小值分别是____，____。0x10y1

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同课异构教学设计《线性规划专题复习》

4、已知圆面C：(xa)2y2a21的面积为S，平面区域D：2xy4与圆面C的S公共区域的面积大于，则a的范围是____。2A.(,2).........B.(,2]..........C.(,1)(1,2)............D.(,1)(1,2]

x0,y0Sk

5、设不等式组所表示的面积为S，则当k1时，的最小值是___。k1ykx4k课后练习答案：1、B 2、2;10

3、4;6 4、C 5、32

师生活动：学生课后独立思考，限时完成。

【设计意图】此节课为高三第一轮总复习，线性规划专题复习课，希望通过本节课的学习，学生提高解决线性规划问题能力以及综合运用向量、函数、数列等知识的能力，积累更加丰富的解题经验，

站在更高的角度看待问题。这五个问题，综合性强，计算要求高。希望学生通过课后练习检测自己学习完本节课后的认知水平，以及对本课的关键知识进行总结、体会。

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