阅读与思考 海伦和秦九韶优秀公开课教案

四川省荣县中学校

教学设计

人教A版必修5第一章“阅读与思考”

《海伦——秦九韶公式》教案

【教学内容】

人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶.

【教学对象】

高一学生. 【教材分析】

本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美. 【学情分析】

高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式. 【教学目标】

（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）知识与技能：理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题. （1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的过程与方法：的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力. 情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力.

【教学重点】

秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用.

【教学难点】

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秦九韶公式与海伦公式的本质.

【教学方法】

引导探究、实力应用. 【教学过程】

（一）旧知回顾

1.三角形的面积公式：

1（1）SABCah（h为边a上的高）；

21（2）SABCabsinC  . 2b2c2a2cosB ；cosC . cosA2.余弦定理的推论：；2bc3.同角三角函数的平方关系：sin2 1. [师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式. (二)新课引入

【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

转化成数学语言为：

在ABC中，a13，b14，c15，求三角形的

面积SABC. [教师活动]经历古文到现代文再到数学语言的过程，让学生感受数学来源于生活,服务于生活.

(三)中西结合

1.古希腊数学家海伦（Heron,约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《测地术》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为1a，b，c,记p(abc)，那么这个三角形的面积Sp(pa)(pb)(pc)为”，

2这一公式称为海伦公式.并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出了证明. 2.中国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形

三边求面积的公式，在他的著作《数书九章》的求法就是以下公式：

2222122acbac，由于秦九韶把这种计算方法称为“三斜求积术”S，从

42

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而我们把以上公式叫做“三斜求积”公式. [师生活动]先让学生用三分钟独立看教材，初步感受数学文化史，然后教师再介绍公式的渊源.

（四）融会贯通

（1）公式推导

122a2c2b2ac推导“三斜求积”公式：S422

推导过程：S1acsinB 2 [师生活动]教师引导学生通过“三斜求积”公式的结构，找准推导的切入点，师生共同推导出“三斜求积”公式.

（2）公式转化

2222122acb

Sac用“三斜求积”公式：421推导海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，p(abc). 2122a2c2b2ac推导过程：S422  [学生活动]学生分小组合作，用六分钟的时间交流和讨论，由“三斜求积”公式推导出海伦公式,经历组内团结的力量，感受成功的喜悦.在推导过程中自然地解释海伦公

1式中为什么令p(abc)，体会海伦公式的魅力.

2可以发现：

①海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，p1(abc). 22222122acbac “三斜求积”公式：S. 42

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②海伦公式特点: ；“三斜求积”公式特点: ；

[师生活动]通过亲身经历对公式的推导，发现两个公式的本质相同，海伦公式形式漂亮，便于记忆.“三斜求积”公式三边以平方形式出现，各有千秋.同时认识到两公式的字母可变性与结构不变形，遵循轮换对称美，更加透彻地认识公式.

（3）公式应用

例1：在ABC中，a13，b14，c15，求三角形

的面积SABC.

变式：把上面条件改为：a13，b14，c15，

求三角形的面积SABC. [师生活动]师生一起来解决问题，重点说公式的选取和代值，运算让学生下来解决。通过海伦公式的直接应用解决引例中涉及的数学问题.改变三边的值，让学生会根据条件特点选择合适的公式秦九韶公式来解答.同时例1让学生认识对两个公式的认识进一步强化和加深.

例2：已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cab，2abc，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状. [师生活动]师生共同审题，分析题中条件的特点，找出解题思路，然后学生独立完成，让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程，同时让一个同学上台板演，教师对其解答过程进行总结和完善，培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识.

（五）课堂小结

2122a2c2b21ac

SacsinB

“三斜求积”公式S2421海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，p(abc)

2[师生活动]共同总结本节课所学知识，强化秦九韶公式与海伦公式的推导，并要理解海伦公式的本质；知道秦九韶公式与海伦公式的本质相同；会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题.

（六）课后探究

思考：除了上述的方法推导海伦公式以外，试用其它方法来推导？

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提示：（1）勾股定理 （2）三角形内切圆

[设计意图]鼓励学有余力学生探究的多样性.

证明海伦公式的其他方法，培养学生自主探究的精神与深入探索的能力，体验同一问题用不同方法解决

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