小结名师教学实录

不等式的概念与性质、基本不等式及其应用

考试内容及要求：

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．

3.了解基本不等式的证明过程. 4.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

一、知识点归纳：

1．两个实数大小的比较

(1)作差法：设a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a

a(2)作商法：依据：设a>0，b>0，则a>b⇔__________，a

(1)对称性：a>b⇔________；(2)传递性：a>b，b>c⇒________；

(3)加法性质：a>b⇔________；推论：a>b，c>d⇒________；

(4)乘法性质：a>b，c>0⇒________；推论：a>b>0，c>d>0⇒________；

(5)乘方性质：a>b>0⇒________________________；

(6)开方性质：a>b>0⇒________________________；

(7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________________. a＋b3．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．

4．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．(2)＋≥____(a，b同号)．

aba2＋b2a＋b2a＋b2(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)2____2. 5．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________. 6．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．

二、例题分析

例1（1）若a，b是任意实数，且a>b，则(

) 1a1bbA．a2>b2

B.<1

C．lg(a－b)>0

D.2<2

a（2）设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是(

) abA．＋≥2

B．ln(ab＋1)>0

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

D．a3＋b3≥2ab2

baa例2(1)已知12

b2(2)设f(x)＝ax＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1) ≤4，求f(－2)的取值范围．

ππβ变式迁移：(1)已知－≤α≤，0≤β≤π，则2α－的范围为________．

222(2)已知－1

例3．（1）下列函数中，最小值为4的函数是(

) 44－A．y＝x＋

B．y＝sin x＋(0

C．y＝ex＋4ex

D．y＝log3x＋logx81 xsin x1（2）设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)有最________值为________．

xx（3）若对任意x>0，2≤a恒成立，则a的取值范围为

x＋3x＋119例4 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；

xy51(2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；

44x－5(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

14变式迁移：已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

) ab79A.

B．4

C.

D．5 2211例5（1）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. abyzxzxy（2）已知x>0，y>0，z>0. 求证：x＋xy＋yz＋z≥8.

例6某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．

(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；

(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？