小结教案推荐

《不等式》小结（第一课时）

导学案（学生版）

广东仲元中学数学科组

郭继良

教学目标：通过小结，让学生体会和掌握函数与方程的思想以及分类讨论的思想。

教学重点与难点：函数与方程的思想以及分类讨论的思想。

教学过程：

不等式与函数、方程相联系，三者构成一个统一的整体，贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点考查内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但有时在解答题中于其他知识综合到一起，难度较大，需借助等价转化、分类讨论等数学思想解题。

专题一

函数与方程思想

不等式与函数、方程三者密不可分、相互转化，有关求参数的取值范围，实际应用问题等，都要考虑函数与方程思想．

【热身练习】

1．不等式x2－4x－5＞0的解集是(

) A．{x|x≥5或x≤－1}

C．{x|－1＜x＜5}

2．(2015年江西南昌校级期末)已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a＝B．{x|x＞5或x＜－1} D．{x|－1≤x≤5} ________.

【例1】

(2015年辽宁大连校级期末)关于x的方程x2＋(a＋2b)x＋3a＋b＋1＝0的两个实根分别在区间(－1，0)和(0,1)上，则a＋b的取值范围为(

) 【分析】利用二次函数的图象解答．

1

31A．－5，5

21B．－5，5

32C．－5，－5

11D．－5，5



【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，通过与函数、线性规划的联系来求解，尤其是函数的图象直观、形象，有助于不等式、方程求解．也体现了转化与化归、数形结合的思想．

变式1．(2015年甘肃定西校级期中)方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是(

) A．(－5，－4]

B．(－∞，－4] C．(－∞，－2] D．(－∞，－5)∪(－5，－4]

专题二

分类讨论思想

解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论，分类讨论的原因一般有以下两种：一是对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起讨论；二是对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．

【热身练习】

3．(2015年广东肇庆期末)若不等式kx2＋2kx＋2＜0的解集为空集，则实数k的取值范围是(

) A．(0,2)

C．[0,2]

2

B．[0,2) D．(2，＋∞)

4．解关于x的不等式x2－(2＋a)x＋2a＜0.

【例2】

解关于x的不等式ax2－x－(a＋1)＜0.

提示：二次方程ax2－x－(a＋1)=0的根为

，

. 【分析】结合穿线法，分a＝0时，a＞0时，a＜0讨论原不等式的解集情况，从而求出答案来．

【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题．

2变式2．已知f(x)＝x2－a＋ax＋2. (1)当a＝1时，解不等式f(x)≤0；

(2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0.

3

巩固提高

1．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1＜0的解集是R?

2．(2015年湖北黄冈期末)已知关于x的不等式ax2－3x＋2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．

(1)求实数a，b的值；

x－c(2)解关于x的不等式＞0(c为常数)．

ax－b

3.

设a∈R，关于x的不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集为(α，β)且0＜α＜1＜β＜2，求a的取值范围．

【分析】利用二次函数的图象解答．

4