1 生活中的立体图形优质课一等奖

一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）

导学探究：

阅读教材P15-16，回答下列问题：

1、回忆：一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的求根公式是__________________.由求根公式可知, 一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。

2.(1)方程（x-x1）(x-x2)= 0 与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？_____(答“是”或“否”)。

(2)方程（x-x1）(x-x2)= 0的两个根据是_________________. 方程x-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________> (3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为_______, 一次项系数p=________, 常数项q=________,反之，方程x2+px +q =0 两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+ x2=________, x1x2=__________. 3、一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1=__________,x2 =___________. (1) 计算x1+ x2和 x1x2的值。

（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。

归纳梳理

1、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+ x2=________, x1x2=__________. 一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________. 2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0. 典例探究

1．不解方程求两个根之和与积

【例1】不解方程，求方程3x+2=1﹣4x两根的和与积．

总结：在使用根与系数的关系时，应注意：

不是一般式的要先化成一般式；

22

前提条件是b24ac0；

在使用x1x2b时，注意“-”不要漏掉．

a练1．（2014•碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（

）

A．﹣3和﹣555 B．﹣3和 C．3和 D．3和222

2．已知一元二次方程的两根求系数

【例2】（2014春•富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．

总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．

练2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（

）

A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2

3．已知一元二次方程的一个根求另一个根

【例3】（2015•北塘区二模）已知一元二次方程x﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为

．

总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：

把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；

（2）

根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．

练3．（2014秋•秭归县校级期中）已知2﹣另一个根及c的值．

4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负

是一元二次方程x﹣4x﹣c=0的一个根，求22

【例4】（2008•南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（

）

A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．两根都为负

总结：

不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；

首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；

如果判别式大于0，则计算x1x2的值，如果x1x20，可判断方程的根为一正一负；如果x1x20，再计算x1x2的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负．

练4．（2014秋•夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（

）

A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定

夯实基础

一、选择题

1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（

）

A．

B．﹣

C．﹣

D．

2．（2015•金华）一元二次方程x+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（

）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 3．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（

）

A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1 C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1 D．x1+x2=3，x1•x2=1 4．（2015•衡阳）若关于x的方程x+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（

）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3 5．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（

）

A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0 22

6．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（

）

A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1 7．（2015•东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（

）

A．2 B．3 C．4 D．8 8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（

）

A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根

二、填空题

9．（2015•滨湖区一模）已知方程x﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为

．

10．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是

，m的值是

．

11．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn= ，m+n=

．

三、解答题

12．（2015•东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．

13．（2014秋•番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

14．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．

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