利用两个一次函数的图象解决问题优质课一等奖

课题：一次函数的应用（第二课时）

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教学目标：

知识与技能目标：

进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；

过程与方法目标

：

在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．

情感与态度目标 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．

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重点：

一次函数图象的应用

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难点：

从函数图象中正确读取信息

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教学流程：

一、

课前回顾

二、

指出下列格式中的k和b:

注意：一次函数书写一般写成

(1) y=0.5x+ 3 (2) y= - 0.18x+10

求一次函数的表达式的详细步骤

１.设——一次函数表达式 y=kx+b或者y=kx；

２.代——将点的坐标代入y=kx+b中,列出关于K、b的方程

３.解——解方程求出K、b值；

４.定——把求出的k、b值代回到表达式中即可. 解答实际情景函数图象信息问题的方法：

法一:图象观察法

法二:关系式计算法

三、

情境引入

探究1：反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，

L2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：

(1)

当销售量为2吨时，销售收入＝_2000____元

l1 反映了公司产品的销售收入与销售量的关系。

l1对应的函数表达式是

y=1000x

l2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，

根据图意填空：

（2）当销售量为2吨时，销售成本=__

3000________元

l2 反映了公司产品的销售成本与销售量的关系。l2对应的函数表达式是

y=500x+2000

。

（3）当销售量为6吨时，销售收入＝

6000

元，

销售成本＝

5000

元，

利润＝

1000

元。

（4）当销售量为

4吨时，销售收入等于销售成本。

（4）当销售量

大于4吨时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量

小于4吨

时，该公司亏损(收入小于成本)；

练习1：

甲、乙两地相距40 km，小明8:00 点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h. 设小明所用的时间为x（h），小明与甲地的距离

为y1（km），小红离甲地的距离为y2（km）. （1）分别写出y1

，y2与x之间的函数表达式；

（2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象， 并指出谁先到达乙地. （1）解

小明所用时间为x h，

由“路程=速度×时间” 可知y1 = 8x，

自变量x 的取值范围是0≤x≤5 由于小红比小明晚出发2 h，因此小红所用时间 为（x

- 2）h. 从而

y2

= 40（x

- 2），自变量x 的取值范围是2≤x≤3. （2）

解

将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，

过点M（0，40）作射线l 与x

轴平行，它先与射线 y2 = 40（x - 2）相交，这表明小红先到达乙地.

四、

自主思考

探究2：

我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶。边防局迅速派出快艇B追赶（如下图）

下图中 l1 ，l2 分别表示B 离岸起两船相对于海岸的距离ｓ与追赶时间ｔ之间的关系。

（1）哪条线表示 B 到海岸距离与追赶时间之间的关系？

分析：当t＝0时，B距海岸0海里，即S=0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系

（2）A、B 哪个速度快？

分析：任取一个时间点进行比较

t从0增加到4时，

l2的纵坐标增加了1，

l1的纵坐标增加了2，

所以，4分钟内，A 行驶了1海里，B 行驶了2海里，所以 B 的速度快。

（3）15分钟内 B 能否追上 A？

可以看出，当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方。

这表明15分钟时， B尚未追上 A。

（4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？

如图延伸l1 、l2 ，两直线有交点，交于点P。

因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上 A。

（5）当 A 逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？

从图中可以看出，l1 与 l2 交点P的纵坐标小于12 这说明在 A 逃入公海前，我边防快艇 B能够追上 A。

(6)L1与L2对应的两个一次函数y=k1x+b,y=k2x+b中，k1,k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？

K1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只的速度。A的速度是0.2n mile/min快艇的速度是0.5n mile/min 你还能用其他方法解决上述问题吗？

关系式法

y1=0.5x y2=0.2x+5 练习2：1.某植物t天后的高度为ycm，图中的l 反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题：

（1）植物刚栽的时候多高？

9 cm （2）3天后该植物多高？

12 cm 3）几天后该植物高度可达21 cm 12 天

五、

自主探究

探究3：分段函数

“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克

部分的种子的价格打8折。

（1）

填写下表：

(2) 写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式,并画出函数图象

分析:付款金额与种子价格相关,问题中种子价格不是固定不变的,它与购买种子数量有关.设购买x千克种子, 



当0≤x ≤2时，种子价格为5元/千克；

当x﹥2时，其中有2千克种子按5元/千克计价，其余的（

x-2）千克（即超出2千克部分）种子按4元/千克（即8折）计价

因此，写函数解析式与画函数图象时，

应对0≤x ≤2和x ﹥2分段讨论

解：设购买种子数量为x千克，付款金额为y元。

当0≤x ≤2时，y=5x。

当x ＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2。

总结：

(1) 这个整体是一个分段函数。

(2) 函数y 在 x的某个范围内可能是特殊函数,如一次函数。

(3) 由于问题的不同，分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是我们周围的还存在哪些分段函数的实例。

出租车计费问题，

阶梯水费、电费，

个人所得税，

邮资等等 五、达标测评

1.若一次函数 y = 2x + b的图象经过点A(-1，4），则 b=＿6＿；该函数图象经过点B(1，8＿）和点C（_-3__，0）. 2.有同学画了下面一条直线的图象，你知道该函数的表达式吗？

2yx23

3. 已知直线 y=2x－4 （1）求直线关于x轴对称的函数关系式y= －

2x+4 (2)求直线关于y轴对称的函数关系式

y= － 2x- 4 (3)求直线绕原点旋转180时的函数关系式

y= 2x+4 4.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( A ) 0

(A) (B) （C） （D）

5、某汽车行驶时间t(时)与该汽车对于某城市的距离y(千米)之间的关系式为

(t≥0)，其图象如图所示：

(1)在1时至3时之间，汽车行驶的路程是多少？

(2)你能确定k的值吗？这里k的具体含义是什么？

解：（1）当t=1时，y=90;当t=3时，y=__210___；

所以，在1时至3时之间，汽车行驶的路程是_120_____千米

（2）把t=1，y=90代人ykt30

得K=60，K表示汽车行驶的速度。

六、应用提高

某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨水费0.5元，超出计划部分每吨按0.8元收费。

（1）若用水2800吨，水费是 元，

某月该单位用水3200吨水费是 元。

（2）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式。

（3）该单位水费是1580元，则该单位当月用水量多少吨？

解：

（1)∵2800<3000,∴2800×0.5＝1400 ∵3200>3000,∴3000×0.5+(3200-3000)×0.8＝1500+160＝1600. (2)由题意可知 当0≤X≤3000时,y＝0.5x. 当x＞3000时，y＝3000×0.5+（x-3000)×0.8

＝1500+0.8x-2400＝0.8x-900 即 y=0.5x ( 0≤x≤3000 ）

y=0.8x-900 ( x＞3000 ）

（3）当x＝3000时，y＝3000×0.5＝1500 ∵1580＞1500 ∴x＞3000 即将y＝1580代入y＝0.8x-900得x＝3100 答：该单位水费是1580元，则该单位当月用水量3100吨。

七、体验收获

今天我们学习了哪些知识？

1、学会解较为复杂的一次函数的应用题. 2、学会把复杂的图象转化为几个简单的图 象去解决问题。

七、布置作业

教材95页习题第1、2题。