数学活动 设计包装纸箱名师课堂实录

数学活动——设计包装纸箱

（苏科版七年级上册140页）

教学模式：课前组织学生制作学具——小组合作，动手操作各种包装方案——探索最省包装纸的叠方方式——讨论得出结论

教学目标：

1．经历从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有知识解决问题的过程．

2．通过本次活动让学生学会设计最省材料的长方体包装纸箱．

3．在探究解决问题的过程中，让学生获得研究问题的方法和经验．

4．通过克服困难的经历和获得成功的体验，培养学生对数学的兴趣，增强应用数学的信心

教学重点：

1．经历实际问题数学化——建立数学模型——解决问题的过程．

2．如何设计最省材料的长方体包装纸箱．

教学难点：发现小方体的块数与大长方体的长、宽、高的关系

学法指导：

1.通过实践操作，观察思考，经历探索的过程，学会类比地分析和思考，尝试“数学地”去想．

2.通过小组的合作，锻炼与人合作交流的能力，通过对不同方案的比较分析，培养分析问题的能力和能够清晰地表达自己的观点．

3.学会从研究简单问题获得的经验解决较为复杂的问题，以及处理复杂问题的研究方法和手段．

4.尝试对所学知识进行反思、归纳和总结．学会对知识进行提炼，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识．

课前设想：

★

从生活实例出发，引出生活中处处需要包装，再由超市促销装进一步过渡到对多件物体进行打包包装，引出课题．

★

学生角色扮演，从省包装材料的角度出发设计肥皂包装纸箱．为了便于摆放、运输及研究，这里暂定为设计的包装纸箱为长方体．

★

对于包装30块肥皂，模拟实验所需用具多，叠放情况也比较多，要考虑全面不容易，让学生感受到要解决这样一个复杂的问题比较困难，从而渗透“手脑并用”“复杂问题简单化”等思想方法，继而启发学生先从2块肥皂的情况入手研究，尝试看看会不会有什么规律性．

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活动一：动手操作：2块肥皂叠放成长方体有几种方法？（为了表达的一致性，规定将16cm的边作为长，6cm的边作为宽，3cm的边作为高摆放．）

观察图形：哪一种方案最省材料？为什么？（得出结论1）

列表计算：算出各方案中长方体的表面积，比较哪一种最省材料？

分析数据：你有什么发现？（启发学生得出结论2）

提炼共性：2=1×1×2（结合图形PPT理解）

设问：3块肥皂呢？4块肥皂呢？

★

活动二：动手操作：4块肥皂叠放成长方体有几种方法？

列表计算：“4=1×1×4”型（学生操作）

算出各方案中长方体的表面积，比较哪一种最省材料？

设问：刚才的发现还成立吗？

“4=1×2×2”型（学生操作）

算出各方案中长方体的表面积，比较哪一种最省材料？

设问：刚才的发现还成立吗？

如何才能使新长方体的长、宽、高相对比较接近呢？（用大的边乘小份数，用小的边乘大份数）

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活动三：问：6块肥皂叠放成长方体有几种方法？哪一种最省材料？

列表计算：“6=1×1×6”型中最省材料的那一种的表面积？

“6=1×2×3”型中最省材料的那一种的表面积？

比较得出结果．（将最省材料的那一种摆放出示意图）

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解决问题：利用探寻的规律解决问题．

（1）将30分解成三个正整数（按从小到大的顺序）相乘有多少种类型？

（2）每一种类型中用料最省的那一种的长、宽、高填入表格中，计算表面积，进行比较．

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课堂小结：从知识、技能（配一简问考查学生掌握情况）、方法等方面小结．

★

课后作业：鼓励学生走出课堂，细心观察生活中问题，尝试用数学知识和方法解决；

拓展研究，形成成果（小论文）．

教学过程：

一、

创设情境

问题：肥皂厂的厂长向同学们求助，该厂生产的肥皂的形状是长方体，它的长、宽、高分别是16cm、6cm、3cm，请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装30件这种产品，且该纸箱所用材料尽可能少．

【设计意图】由生活中的问题引入课题，让学生体验数学来源于生活，鼓励学生细心发现生活中的数学问题．用求助的方式抓住了初一学生好表现的心理特征，激发其探究欲望. 分析：为了运输和计算的方便，我们规定设计成长方体的纸箱．

学生讨论：你想如何解决？

思考：1．30块肥皂叠放成长方体有多少种方法？

2．多块肥皂打包成长方体的几种方案中，哪种用料最省，会不会有什么规律呢？

3．你想从几块肥皂开始研究？

思想方法渗透：动手之前先动脑，手脑并用效果好．

复杂问题简单化，探寻规律用处大．

【设计意图】提醒学生不能盲目地动手操作，应先积极动脑分析问题，同时适时渗透数学思想方法，引导学生在解决复杂的问题时通常先从简单的情况入手研究，尝试探寻规律，从而解决较复杂的问题．

二、探究活动：

活动一：两盒肥皂，它们的长、宽、高分别是16cm、6cm、3cm，请大家设计一个长方体的包装盒，能把这两盒肥皂恰好放进去．

（1）若不考虑粘接处，则所需包装材料的多少与什么有关？

（2）共有几种方案？请分别计算出各方案的表面积，比较哪种方案用料最省？ 学生活动：

（1）思考问题；

（2）动手操作（为了便于研究，规定长为16cm，高为3cm的面正对自己）；

（3）展示所有可能；

（4）结合实物和下图说说哪种方案最省材料？为什么？（得出结论1）

结论1：如果相同小立方块的数量一定，当其重叠部分的面积较大时，包装纸箱的表面积最小；

方案1 方案2 方案3 (5)填表：结合实物填写下表

方案1 方案2 方案3 长（cm）

16×1=16 16×1=16 16×2=32 宽（cm）

6×1=6 6×2=12 6×1=6 高（cm）

3×2=6 3×1=3 3×1=3 表面积(cm)

2

（6）计算各方案中的表面积填入上表

（7）分析数据：

若将原长方体的长、宽、高都看作是一个单位，那么表格中加粗的“1”、“1”、“2”则表示什么？

你发现这3个数与小长方体的块数有何关系？

观察上表中的数据，用料最省的方案中长、宽、高的数据与其它方案相比有什么特征？（得出结论2待验证）

结论2：(2)在包装纸外观尺寸中，当长、宽、高比较接近时(此时长方体接近正方体)，包装纸箱的表面积最小？

(8)3块肥皂呢？4块呢？

【设计意图】环节（2）的设计一方面是让学生亲身经历组装的过程，另一方面也

向学生渗透当多个因素不确定时，一般先限定一些变化因素，从而找到研究的入口，便于分类．而环节（3）是为了充分发挥学生的表演欲望．环节（4）是让学生先从感性认识上发现最省材料的方案，得出结论1，学生很容易理解．在填写长、宽、高时侧重引导学生说出新长方体的长、宽、高与原小长方体的长、宽、高的关系，便于后序的研究．环节（７）的设计是本节课的重难点之一，也是解决问题的突破口．

活动二：四盒肥皂，请大家设计一个长方体的包装盒，使得用料最省．受刚才的启发，你想先怎么做？

（1）4可以分解成哪三个正整数相乘？对应的长、宽、高有哪几种可能？

（2）借助excel表格设计计算表面积的公式生成结果．

【设计意图】减少机械的计算，节省时间，同时展示信息化对学习研究的有利之处．

（3）刚才的发现还成立吗？

（4）想要新长方体的长、宽、高越接近，你会怎么做？

活动三：六盒肥皂，请大家设计一个长方体的包装盒，使得用料最省．

（1）6可以分解成哪三个正整数相乘？

（2）运用已验证的结论和方法分别探讨“6=1×1×6型”与“6=1×2×3型”中最省材料的方案．

【设计意图】让学生完整地体验发现猜想结论——验证猜想——应用结论的过程，感觉数学研究的方法．

（3）比较这两种类型中最省材料的两种方案，从而解决问题．

活动四：解决问题

学生尝试解决．

长（cm）

宽（cm）

6×1=6 高（cm）

3×30=90 表面积(cm)

2

“30=1×1×30型”16×1=16 中最省的方案

“30=1×2×15型”16×1=16 中最省的方案

“30=1×3×10型”16×1=16 中最省的方案

“30=1×5×6型”中最省的方案

“30=2×3×5型”中最省的方案

包装纸箱吗？

16×2=32 16×1=16 6×2=12 3×15=45

6×3=18 3×10=30

三．学习体会：

6×5=30 3×6=18

通过这节课你6×3=18 3×5=15

学会设计最省材料的长方体思考：一个体积为64cm3的长方体，它的表面积最小可能是多大？

你还用到了哪些解决问题的方法？

四．课后作业：

1、去超市调查各种货物的包装，思考其包装的理由，并向工作人员咨询．

2、看自己能否提出更好的包装方案的建议．

3、写一篇关于货物包装问题的论文（可以是对某种货物包装的改进建议）．

五、板书设计：

长（cm）

宽（cm）

高（cm）

3×30=90 表面积(cm)

2

结论1：如果相同小立方块的数量一定，当其重叠部分的面积较大时，包装纸箱的表面积“30=1×1×30型”16×1=16 6×1=6 中最省的方案

“30=1×2×15型”16×1=16 6×2=12 3×15=45 中最省的方案

“30=1×3×10型”16×1=16 6×3=18 3×10=30 中最省的方案

“30=1×5×6型”16×1=16 6×5=30 3×6=18 中最省的方案

“30=2×3×5型”16×2=32 6×3=18 3×5=15 中最省的方案

最小；

结论2：在包装纸高比较接正方体)，最小。

教学反思

数学来源于生活，又应用于生活．本节数学活动课正是这句话的很好体现，所以我设计了如下的教学思路：通过各种实例引导学生从中发现生活中时常需要设计包装纸箱，引出课题，然后通过探索活动得出相关结论，最后回归问题的解决．

但如何组织学生进行探索活动？又要让学生在探索活动中获得些什么？这是在设计课堂教学时遇到的最大的难题．对于初一学生而言，他们基本知识的储备还不够，基本活动经验的积累还不够成熟．如果要从数学的角度解释如何设计包装纸箱用料最省，学生显然会力不从心，而且也不可能在一节课内完成；但如果就直接告诉他们结论，然后解决问题，学生只能是一知半解，机械性的接受，有悖新课标的要求，对学生的成长不利．日本教育家米山国藏说：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用．”最后我决定将本课的一大重点放在引导学生关注研究数学问题的方法，以及在此过程中常用的一些思想方法上．而对于其中涉及的数学知识是通过学生的动手操作，亲身体验来感知的．在具体设计时主要遇到了以下几个问题，并给出了相应的解决措施．

1、课本提供的素材很少，只用短短的几行字描述了问题：市场上某种型号的肥皂，它的长、宽、高分别是16cm、6cm、3cm，一箱这种肥皂计30块．请你为肥皂厂设计一种包装纸箱，使该纸箱所用材料尽可能少．而其他可供参考的资料也很少，本课的设计只能是从无到有．30块的小长方体，如果盲目地叠放，情况很多，很难全面地考虑到所有的可能情况，自然就找不到最省材料的方案了．所以我提醒同学们：动手之前先动脑，手脑并用效果好．在思考的时候，大家很容易发现现在遇到的麻烦事是因为30块太多而引起的，故而可以考虑减少块数．这便是研究数学问题常用的方法之一：复杂问题简单化，探寻规律用处大．所以我引导学生先从2块、3块、4块、6块入手研究，在此过程中关注一些共性的结论，从而推广到30块，当然最终可以解决任意块数的问题．

2、最简单的对2块小长方体进行包装，学生很容易得出三种情况．但看似很简单的问题，却是解决整个问题的基石，如果草率地一带而过，对后序的研究无利．所以我将这一环节设计为重点，要求学生结合动手操作，相互演示．果然出现了意想不到的问题．

有学生提出了“丁”字型的摆放方式，所以我们规定：为了便于摆放、运输及研究，这里暂定为设计的包装纸箱为长方体．

有学生觉得不止三种情况，因为有人摆放的是32cm×6cm×3cm，而有人摆放的是32cm×3cm×6cm，还有人摆放的是6cm×32cm×3cm……在明确了包装纸的大小与叠放的物体的表面积有关时，有同学发现了以上的这几种表面积是一样的，所以应该是同一种．因此为了避免再出现这样的重复情况，我们又规定：为了表达的一致性，将16cm的边作为长，6cm的边作为宽，3cm的边作为高摆放．

同时，我又引导学生去观察叠放好的长方体的长、宽、高实际上是原小长方体的长、宽、高的倍数，而这些倍数与小长方体的块数有关．即2（块数）=1（长的1倍）×1（宽的1倍）×2（高的2倍）；或2（块数）=1（长的1倍）×1（高的1倍）×2（宽的2倍）；或2（块数）=1（长高的1倍）×1（宽的1倍）×2（长的2倍）长的1倍，这样共三种．通过列表的方式，填写出所有的可能情况是最关健的．这里用到了分类思想，此所谓：分类讨论有顺序，不多不少全想到．

最后，通过比较这三种方案，得到了最省材料的那种，即2（块数）=1（长的1倍）×1（宽的1倍）×2（高的2倍）．但还没有结束，因为这不是我们研究的最终问题，这个问题只是作铺垫的，过程中的铺垫作用我们已经关注到了，对于结果我们也要进一步观察．从图形中不难发现，最省材料的方案相比较之下最接近正方体，即长、宽、高比较接近；而这种方案是用最小的边(3cm)乘以的最大的份数(2份)得到的．结合以往的经验，学生心中必会产生这样的美好期盼：是不是最接近正方体的时候表面积会最小？如果是，我们就可以用最大的边乘以最小的份数，最小的边乘以最大的份数，这样使得它们相对比较接近，长方体也就最接近正方体了．

3、有了2块的研究经验，学生很容易解决3块的问题，所以这里我放手让学生去探索．大家急于验证前期的猜想，情绪高涨．对于4块的情况，学生容易受前两次的影响，忽略了“4=1×2×2”的情形，再次提醒同学们分类时要有一定的顺序，考虑问题要全面，此后6块的情况便迎刃而解．而且令学生们欣喜的是，先前的猜想都得到了一次又一次的验证．

总之，整节课，学生通过独立思考、主动探索、合作交流，在愉悦的心情中理解和掌握了基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到了必要的数学思维训练，获得了基本的数学活动经验，算是一次成功的数学活动．

后来想想，最终设计的是包装纸箱，所以应该要求学生将最省材料的那种方案的平面展开图画出来，以便于生产这种包装纸箱．但由于前期的研究容量较大，消耗了过多的时间，最后没能点出这一点，有点可惜．