复习题28设计意图

锐角三角函数（小结）教学设计

四川省旺苍东城中学

周

波

教学目标: ·知识与技能：1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决；2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．

·过程与方法：在探索用锐角三角函数解决实际问题的过程中，让学生体验分类的思想有条理地思考、分析、表达、解决问题的能力，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

·情感态度与价值：鼓励学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣。

教材分析：

认知基础：作为初中数学解直角三角形的知识在航海、航空、测量等等各领域的运用是非常广泛的，而有的学生在解决此类应用问题时，解答书写过程繁琐、混乱、甚至错误，既浪费时间又不一定能获得理想的解答。

活动经验基础：解直角三角形的知识在航海、航空、测量、修路、筑坝建房、机械加工等领域，甚至在我们的日常生活中运用也非常广泛，其应用价值和重要性是不言而喻的。因此在《数学课程标准》中，也要专门谈到对解直角三角形应用问题的要求，其内容标准是：“使学生会运用三角函数解决与直角三角形在有关的简单的实际问题”，因此在整个初中数学知识内容体系中占有重要的一席之地，也正因为如

此，在全国各地多年的中考试题中，几乎都少不了直角三角形应用问题的题型。

教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

教学难点：实际问题转化成数学模型．

教学过程：

知识回顾：

在解答解直角三角形应用题型时，我们已经掌握解直角三角形必备的基本知识及其相互间的关系：

（1）三边之间的关系：

勾股定理

（2）两锐角之间的关系：两锐角互余

（3）边角之间的关系：锐角三角函数

我们知道在解直角三角形有关的应用题时，有的题只需在一个直角三角形中就可解决问题，这种情况可把它叫做“单直角三角形问题”。解“单直角三角形问题”只要我们具备上述的知识及关系，基本能够解决问题了。

而有的情况需要两个直角三角形相互配合才能决问题，这种情况可把它叫做“双直角三角形问题”。解决这类问题，我们除具备上述的知识及关系外，还需要具有一定的观察、分析及转化问题的能力，再掌握一些在解题过程中总结出来的行之有效的模式才能迅速解决问题。

本节课，我们把“双直角三角形问题”分成几种题型来进行讨论。

活动一：

第一种题型

：“一点两角一线段”，此种题型又可分为两种情况：

第1种情况：对应图形的特点是：两直角三角形有

“一已知的公共边”，“已知两角”有一“公供顶点”，“公供顶点”在“已知公共边”的“同一端点”处，“已知两角”分别在“已知公共边”的“两侧”，这

“一已知公共边‘垂直于’所求线段”。

故形象地称这种题型为“一点两角一线段”题

例1（人教版九年级下册28.2解直角三角形

第89页，例4）如图，热气球的探测器显示，

从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这

栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水

平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到

0.1m)? 分析：在

中，，oom

所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以在Rt△ACD中求出CD，进而求出BC. 几何法：

解：如图, 在△ABD和△ACD中

，

,m

0∴BDADtan120tan301203403

3∴CDADtan120tan60012031203

答:这栋楼高约为277.1m. 代数法：

如果设所求线段BC=xm， AD=L，∠BAD=α、

∠CAD=β，那么把它们代入上面的解答过程求解，可归纳成一个比较简明扼要的公式模型：

xL(tantan)

……①

运用公式①进行代数法解答如下：

解：设所求线段BC=Xm，L=AD=120m，α=∠BAD=300，β=∠CAD=600，由题意得方程：

xL(tantan)0

x120(tan30tan60)277.1m　0答：这栋楼高约为277.1m 显然，代数解法简化了很多。

活动二：

第2种情况：对应图形的特点是：两直角三角形有

“一已知的公

共边”，“已知两角”有一“公供顶点”，“公供顶点”在“已知公共边”的“同一端点”处，“已知两角”分别在“已知公共边”的“两侧”，这

“一已知公共边‘垂直’于所求线段”。

故这种题型也形象地称为“一点两角一线段”题。

例2、（人教版九年级下册28.2解直角三角形，第93页练习第1题）如图，建筑物BC上有一旗杆,由距40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50，观察旗杆底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）。

分析：在Rt△ADC中，DC=40m,∠ADC=500，所以可以利用解直角三角形的知识求出AC;类似地可以在Rt△BDC中求出BC，进而求出AB. 几何法：

Aoo解：如图, 在Rt△ADC中和Rt△BDC中

∠ADC=500，∠BDC=450，DC=40m DjBCtanADCACBC,tanBDC

DCDC

AC=DC·tan500≈40×1.198＝47.67； BC=DC·tan450=40×1=40

∴AB = AC-BC = 47.76-40 =7.76≈7.7

答:旗杆高约为7.7 m.

代数法：

如果设所求线段AB=xm， DC=L，∠ADC=α、∠BDC=β，那么把它们代入按上面的解答过程求解，可归纳成一个比较简明扼要的公式模型：xL(tantan)……②

（注意：只要括号内是大角的正切值减去小角的正切值，

就能够保证结果是正值）。

运用公式②进行代数法解答如下：

解：设AB=xm ，L=DC= 40m ，α=∠ADC=500 β=∠BDC=450

，

由题意得方程

xL(tantan)0

x40(tan50tan45)7.7m　0答:旗杆高约为7.7 m。

显然，代数解法简化了很多。

活动三：

第二种题型

“两点两角一线段”。对应图形的特点是：两直角三角形有

“一已知的公共线段”，“已知两角的顶点”分别在“已知公线段的两端点”处，“已知两角”分别在“已知公共线段”所在直线的“同侧”，这

“一已知的公共线段”的延长线“垂直”于所求线段。故形象地称这种题型为“两点两角一线段”题。

例3、如图，已知：在塔前的平地上选择一点A，测出这点看塔顶

的仰角∠DAC=350，在A点和塔之间的水平线AC上，选择一点B，测这点看塔顶的仰角∠DBC=500，AB=20m .求塔DC的高度。

几何法：

解：由题意得∠DCB=∠DCA=900

在Rt△BCD中

，∵∠DBC=500

∴BCDCDC

tanDBCtan500AjBCD在Rt△ACD中

，∵∠DAC=350，

∴DC=AC·tan∠DAC=（AB+BC）·tan∠DAC =AB·tan∠DAC+BC·ta∠DAC = 20×tan350+BC×tan350

把BCDC代入进行计算：

0tan500DC0DC=20×tan35+0×tan35

tan50DCtan500=20×tan350×tan500+DC·tan350

DC·tan500- DC·tan350=20×tan350×tan500

DC·（tan500- tan350）=20×tan350×tan500 20tan350tan500DC14.29(m) 00tan50tan35答：塔高约为14.29m. 代数法：

如果设所求线段DC=xm，

∠DAC=β，∠DBC=α，AB=L，那么把它们代入，按上面的解答过程求解，可归纳成一个比较简明扼要的公式模型：

xLtantan……③

tantan（注意：分母只要是大角的正切值减去小角的正切值，

就能保证结果是正值）。

运用公式③进行代数法解答如下：

解：设DC=Xm，β=∠DAC=350，α=∠DBC=500，L=AB=20m，由题意可得方程：

xLtantantantan20tan350tan500x27.16(m)00tan50tan35 答：塔高约为27.16m.

课后小结：

三个公式的运用价值的分析思考与评价：

1、三个公式完全实用于符合“双直角三角形问题”的“一点两角一线段”、

“两点两角一线段”等题的已知条件及图形特点的题型，是具有很强的代表性的，可作为解决具有此类应用问题题型的公式模型。故其实用价值是高的。

2、用三个公式进行代数解答，不会失去几何解答的合理性和科学性。

3、为了正确运用、深刻理解和记忆这三个公式，可引导学生亲自动手参与推导，并指出在运用公式时，要注意要严格确定题型的已知条件和图形特征是否已经符合公式要求，只有这样才能正确高效地使用公式。三个公式中的三角函数值都是正切值。公式①、②针对的

是“一点两角一线段”的题型，一点在指什么、在哪里？两角是指什么、在哪里？一线段又是指什么、在哪里？为什么是一加一减？图形有什么不同或相同点？相减时分母中的大角的正切值应在什么位置时才不会出现负数？公式③针对的是“两点两角一线段”的题型，两点在指什么、在哪里？两角是指什么？在哪里？一线段又是指什么、在哪里？适合公式①②的题对应的图形，直观上看，正因为两角在已知公供线段的异侧，或两角在已知公供线段的同侧才形成了所求线段是由两条线段相加或相减所得，故公式中间用加号或减号，因此两公式可合起来记忆，只是中间是一加一减。

适合公式③的题型与适合公式①、②的是不同的，就图形而言最根本的区别是：两已知角的顶点是否在已知线段的同一端点，已知线段是直接垂直所求线段还是其延长线垂直于所求线段。且公式③

是一分式。公式①、②都是多项式。

学生练习：

1、如图，上午10点整，不明渔轮在小岛上哨所A的南偏西30°方向的O处，不明渔轮正以每小时10海里的速度向O点的正东方向行驶，哨所A距离正东方向的OB 直线8海里，渔轮至B处时，从哨所A上的测得B点在哨所向南偏东60°方向．那么渔轮到达正东方向B点时是什么时间？(精确到1分)．

分析说明：此题的图形可看成是由

公式①的原图形经过顺时针旋转900 所得，可过A点作AD⊥OB于D，

这样，观察图形知：一点是A，两已知

角是∠OAD，∠BAD，已知一线段是

AD，两角的顶点都在已知一线段AD 的同一瑞点A处所求线段是OB同。

从图形特点和已知条件分析，可发现

它仍就是“一点两角一线段”

第1种

情况的题型特点，只是图形的位置发生

了变动，当然以可用公式①求解。

2、如图，小芸在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高.现测得树顶C处的俯角为450，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米.请你帮助小芸计算树的高度（精确到0.1米）．（2009年云南省中考题，第17题，分值8分。此题与人教版九年级下册28.2解直角三角形，第101页，复习题28综合运用第8题几乎一样，只是把其中的数值改变了一下）

先看几何法解答：

解：过点A作AE∥BD交DC的延长线

于点E，

则∠AEC=∠BDC=90°．

∵EAC45，AEBD20，

∴EC20．

·····································

3分

∵tanADBtanEADAB，

BDB A 45E 60°

B

A 4560°

C D C ∴AB20tan60203，

················

6分

D

CDEDECABEC2032014.6（米）．

答：树高约为14.6米．

······················································· 8分

分析说明：此题的图形可看成是由公式②的原图形以已知线段AE所在的直线为对称轴翻转1800所得。延长CD交过A点的平行线AE于E点，∠AED=900，通过添加轩辅助线后，观察一点是A点，已知两角∠DAE=600、∠C=450，的顶点都在已知线段AE（AE=BD）的同一端点A，已知线段是AE=BD=20米。从图形特点和已知条件分析，可发现它就是“一点两角一线段第2情况”的题型，只是图形的位置发生了变动，故可用公式②求解。

如果从代数法解答的角度思考，过点A作AE∥BD，AE交DC的延长线于点E，设DC=X米，∠α=∠DAE=600，∠β=∠CAE=300，L=BD=AE=20米，代入公式②得方程：x快就可出CD的长度。

3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角舰艇到达D处，测得俯角，经过5分钟后，L(tantan), 很。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇

何时驶入我军火力射程之内，以便

及时还击。

分析说明：此题的图形可看成是由

公式②的原图形经过图形一定的图

形变换所得。要计算出舰艇何时驶入我军火力射程内，就是要求敌舰

艇刚好进入我军火力100米射程的时刻，求时间就得知道路程和速度，求舰艇的速度时，可先求出路程CD的长，然后用已知C处到A处的时间是5分钟，进而可求得舰艇的速度，接着可求舰艇10：05分从D处至BD方向100米处的时间，最终求得敌舰艇刚好进入我军火力100米射程的时刻。在求解的过程中，求线段CD的长时，从图形特点和已知条件分析看，它就是“一点两角一线段”的题型，一点是A点，只是图形的位置发生了变动，两角为∠CAB=900-α，∠DAB=900-β，此两角可通过两个俯角的值及互余关系求得，因此仍可用公式②求解。即CD=AB（tan∠CAB -tan∠DAB）=80·［tan（900-α）- tan（900-β）］。

4、如图1，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得仰角是43．1s后，火箭到达B点，此时测得仰角为45.54，OC的距离是4.78米，解答下列问题：

（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？

（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s）？

（人教版九年级下册，28.2解直角三角形，第97页，习题28.2，第7题与此题几乎类似）

分析说明：第（1）问，只要在单Rt△OBC中，利用已知的边角关系并可求出BC长。而第（2）问中求火箭从A点到B点的平均速度是多少，就是要先求出AB的长，从而求出火箭的平均速度。从图形特

B

A

O

图1 C

点和已知条件分析，求AB的长它，就是“一点两角一线段”的题型，只是图形的位置发生了变动，可用公式②求解。

5、（人教版九年级下册，28.2解直角三角形，第99页数学活动2测量塔高）如图（1）在塔前的平地点选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α；

（2）在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角β；

（3）量出A、B两点的距离；

（4）计算塔的高度．

分析说明：此题的求解从图形特点和已

知条件分析，它就是“两点两角

一线段”的题型个，可用公式

③

Ltantanxtantan, X的值再加上人的高度就可得塔的高度

只是把分母中的小角α和大角β的值互相调换，保证结果为正值。很快就可得塔的高度。

6、（人教版九年级下册28.2解直角三角形第95页练习题第1题）如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东600，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

分析说明：有没有触礁的危险，关键

是看海岛A到直线BC的距离，有没有

小于8海里，小于8海里就有可能触礁，

反之就不可能触礁。所以必须过A点作

BC的垂线段AD，垂足为D，这样就可

得适合“两点两角一线段”的题型图形，

从图形特点和已知条件分析，∠ABD、

∠ACD值都可由两个已知的方位角求得，

故可用公式

③求解。

解：设AD=X海里，∠α=∠ACD=600，

∠β=∠ABD=300，得方程

Ltantanx, 很快就可得AD的长度。

tantan

知识拓展：

1、图形特点及已知条件不变，而仅是原图形的位置改变时的处理

由于许多时候都可能出现，图形位置改变但仍适合我们归纳的题型公式的图形，但这时我们仍然根据已知条件及图形特点使用公式求解即可。

例如：（1）适合归纳的题型公式①的“一点两角一线段”

第1种情况的原图形与它的变位图形。





（2）适合归纳的题型公式②的“一点两角一线段”

第2种情况的原图形与它的变位图形。





（3）适合我们归纳的题型公式③的“两点两角一线段”的原图形与它的变位图形。



只要是符合我们归纳的三种题型的已知条件和图形特点，仅仅是图形的位置发生改变，那么，首先认真观察图形，并进行旋转等图形变换，不断地变成自己已习惯的原图形位置后，进行解答。空间想象

力形成后，最终，图形位置用不着再进行变换都可以很熟练地运用公式进行解答。

2、图形特点不变，只是已知条件和未知量发生改变时的处理

有时候图形已经是符合我们归纳出的题型的特点，只是已知和未知发生发了变化，如：已知X、α、β，求L：已知X、L、α，求β等。那么只要进行公式的代数变形，即进行等式变形后，仍可运用公式求得未知。以公式①为例，如：已知X、α、β，在运用公式①求L时，进行等式变形可得，L课后反思：

学生从开始不熟悉，到做了一定题量后的理解、会用、熟练、爱用。极大地提高了学生的解题速度，节省了大量时间。所以三个公式是值得掌握和推广的。

x也可以很顺利地解决问题。

tantan