根据一次函数的图象确定解析式教学设计案例

北师大版八年级上册数学第四章《一次函数》

４.4 一次函数的应用（第1课时）

银川市第二十中学

马卉

一、学生起点分析

本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．

本节课的教学目标是：

①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．

②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；

③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

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三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：

本节课设计了六个教学环节：第一环节：温故知新；第二环节：自主探究；第三环节：合作探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置．

第一环节

温故知新

内容：1.已知正比例函数y=-2x,点（-3，6）在该函数图像上吗？

2. 已知正比例函数y=kx (k≠0), 点（2，5）在该函数图像上,求k的值并写出函数关系式？

目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新，铺垫．

第二环节

自主探究

问题1：如图，直线l是某正比例函数的图象，点

A（-4,12），点B（2,-9）是否在该函数的图像上？ 分析：要判断点A、点B是否在直线l上必须先确定一次函数表达式。教师规范解题格式，为确定一次函数关系式的做题步骤做准备。

目的：为探究1做铺垫．

探究1：

展示实际情境：

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间

t(秒 )的关系如图所示．

(1)写出v与t之间的关系式；

(2)下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．

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目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．

教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．

想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？

目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k、b，所以需要两个条件来确定．

第三环节

合作探究

问题2：如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，

填空: (1)b=______,k=______； (2)当x=30 时，y=______； (3)当y=30 时，x=______。

目的：为探究2做铺垫．

探究2：

例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度． 解：设ykxb，根据题意，得

14.5=b，

①

16=3k+b，②

将b14.5代入②，得k0.5．

所以在弹性限度内，y0.5x14.5．

3

当x4时，y0.5414.516.5（厘米）．

即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米．

目的：

引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．

教学注意事项：

学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y与x间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．

想一想：1. 确定一次函数的关系式需要几个条件？

2. 如何确定一次函数关系式呢？

求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．

2．列出关于k、b的关系式; 3．

解出k、b的值；

4．

写出函数表达式. 目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．

第四环节

反馈练习

内容：

1．气温可用摄氏温度x(℃)和华氏温度y(℉)表示。y 是x的一次函数，请补全下表。 x/ ℃

y/ ℉

……

-10 ……

0 32 10 50 20 86 ……

……

4

目的：函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法,之间相互转换运用，旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．

效果：

要求学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．

第五环节

课时小结

内容：

总结本课知识与方法

1．学习本节课后，你有哪些收获？

2．如何确定一次函数关系式呢？

求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．

2．列出关于k、b的关系式; 3．

解出k、b的值；

4．

写出函数表达式. 3.本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．

目的：

引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．

第六环节

作业布置

习题4.5：１，２，３，４

目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．

四、教学反思

1.设计理念

本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．

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2．突出重点、突破难点策略

探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获． 3.分层教学

根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．

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北师大版八年级上册数学第四章《一次函数》

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马卉

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