三 反证法与放缩法特级教师教学实录

“反证法与放缩法”教学设计

万全区万全中学 刘海洋

知识梳理

1.反证法

先____________,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等) _________的结论,以说明_________不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法. 2.放缩法

证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法. 知识导学

1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：

(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法. (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的. (4)在使用反证法时,“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用,可视为已知条件. 2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的. 疑难突破

1.反证法中的数学语言

反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 常见词语

否定假设

至少有一个

一个也没有

至多有一个

唯一一个

不是

是

不可能

有或存在

全

不全

都是

不都是

有两个或没有或有两个以上

两个以上

对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此. 2.放缩法的尺度把握等问题

(1)放缩法的理论依据主要有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量; ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较; ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质; ⑤三角函数的有界性等. (2)放缩法使用的主要方法: 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性第

1 页

共

5 页

质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如: 舍去或加上一些项:(a+12312)+>(a+); 242将分子或分母放大(缩小):11111,,k2k(k1)k2k(k1)k2kk1,

12(k∈R,k>1)等. kkk1典题精讲

33【例1】 (经典回放)若a+b=2,求证:a+b≤2.

思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,a-ab+b=(a221232b)+b≥0.

4222332222而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a-ab+b>0.则a+b=(a+b)(a-ab+b)>2(a-ab+b),3322而a+b=2,故a-ab+b<1. 22∴1+ab>a+b≥2ab.从而ab<1. 22∴a+b<1+ab<2. 222∴(a+b)=a+b+2ab<2+2ab<4. ∴a+b<2. 这与假设矛盾,故a+b≤2.

333322证法二:假设a+b>2,则a>2-b,故2=a+b>(2-b)+b,即2>8-12b+6b,即(b-1)<0,这不可能,从而a+b≤2.

333证法三:假设a+b>2,则(a+b)=a+b+3ab(a+b)>8. 33由a+b=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2. 3322又a+b=(a+b)(a-ab+b)=2, 22∴ab(a+b)>(a+b)(a-ab+b). 222∴a-ab+b

绿色通道：本题三种方法均采用反证法，有的推至与假设矛盾，有的推至与已知事实矛盾.一般说来,结论的语气过于肯定或肯定“过头”时,都可以考虑用反证法. 再是本题的已知条件非常少,为了增加可利用的条件,从反证法的角度来说,“假设”也是已知条件,因而,可考虑反证法. 【变式训练】

若|a|<1,|b|<1,求证:|ab|<1. 1ab思路分析：本题由已知条件不易入手证明,而结论也不易变形,即直接证有困难,因而可联想反证法. 证明:假设|22ab|≥1,则|a+b|≥|1+ab|,

1ab22∴a+b+2ab≥1+2ab+ab. 2222∴a+b-ab-1≥0.

222∴a-1-b(a-1)≥0.

22∴(a-1)(1-b)≥0.

第

2 页

共

5 页

22a10,a10,∴

或221b01b0.22a1,a1,即与已知矛盾. 或22b1b1.∴|ab|<1. 1ab1. 4【例2】 (经典回放)已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于思路分析：“不能同时”包含情况较多,而其否定“同时大于”仅有一种情况,因此用反证法. 证法一：假设三式同时大于即有(1-a)b>1, 4111,(1-b)c>,(1-c)a>, 4441三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>. 641aa21又(1-a)a≤()=. 2411同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤. 441∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,与假设矛盾,结论正确. 641证法二:假设三式同时大于, 4∵00, (1a)b11(1a)b. 242(1b)c(1c)a1,都大于. 22233三式相加,得,矛盾. 22同理∴原命题成立. 绿色通道：结论若是“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”或“……≠……”形式的不等式命题,往往可应用反证法,因此,可从这些语言上来判断是否可用此方法证明. 【变式训练】

已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:1y1x与中至少有一个小于2. xy思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法. 第

3 页

共

5 页

证明:假设1x1y≥2,≥2.

xy∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.

两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2.

这与已知x+y>2矛盾. ∴1x1y与中至少有一个小于2成立. xy1111≤+…+n<1. 2n1n22111思路分析：要求一个n项分式+…+的范围,它的和又求不出,可以采用“化n1n22n【例3】

设n是正整数,求证:整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围. 证明：由2n≥n+k>n(k=1,2,

…,n),得111. ≤2nnkn111; ≤2nn1n111;; 当k=2时,≤2nn2n当k=1时,……

111, ≤2nn1n1n111n∴=≤+…+<=1. 22nn1n22nn当k=n时, 绿色通道：放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明1117111,由,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第k2k1k1222n242项放缩,可得小于2,当放缩方式不同时,结果也在变化. 放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和. 【变式训练】

若n∈N+,n≥2,求证：1111112221. -2n12n3n思路分析：利用1112进行放缩. k(k1)kk(k1)证明:∵111111

n(n1)2232n22334111111-)+(-)+…+() 2334nn111=-. 2n1=(第

4 页

共

5 页

又111111+…+<

22223n2132n(n1)111111)=1-, )+(-)+…+(23n1nn2111111∴-<22+…+2<1-. 2n12n3n=(1【例4】 (经曲回放)求证：|a||b||ab|. 1|a||b|1|ab|思路分析：利用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩,但需对a,b的几种情况进行讨论,如a=b=0时等. 证明：若a+b=0或a=b=0时显然成立. 若a+b≠0且a,b不同时为0时, 11|a||b|11. 左边|a||b||a||b|∵|a+b|≤|a|+|b|,

∴上式≤1+11|ab|. |ab||ab|∴原不等式成立. 绿色通道：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类. 【变式训练】

已知|x|<,|y|<,|z|<,求证:|x+2y-3z|<ε. 369思路分析：利用|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|进行放缩. 证明:∵|x|<,|y|<,|z|<, 369∴|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)| ≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z| <+2×+3×=ε. 369∴原不等式成立. 问题探究

问题:说明“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”.

导思：直接去说明某件事情是正确的,有时很难说明原因或根据,因此,用反证法及其逻辑思维会显得较为简单. 探究：反证题:声音和事物的结合假如有什么必然联系,世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应是相同的,后者显然不能成立,既然世界上表示同一事物的词的声音各不相同,可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的.

第

5 页

共

5 页