1.3 二项式定理（通用）多媒体教学设计及其点评

1.3.1二项式定理

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1．能用计数原理证明二项式定理．

2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．

3．能解决与二项式定理有关的简单问题．（重难点）

自主学习

新知突破

入门答疑

、[问题1]

我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4

(a＋b)n的展开式。

[提示1]

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.

新知导学

1．(a＋b)n展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是n个因式(a＋b)的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取a，多少个因式(a＋b)中取b，如果从k个因式中选取b，则就有_________个因式中选a.∴积式为ankbk(k＝0、－1、2、…、n)的形式的项共有______个．合并同类项后为_____________________.因此(a＋b)n＝______________________________________________这个公式叫做二项式定理．等式右边叫二项展开式

2．二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点：

(1)它有__________项；

(2)各项的次数(即a与b的指数的和)都等于二项式的次数________；

(3)字母a按降幂排列，次数由______递减到_______；字母b按升幂排列，次数由_____递增到______；

(4)展开式中系数Ckn(k＝0、1、2、…、n)叫做第k＋1项的二项式系数，它们仅与二项式次数n有关．

(5)二项展开式的通项公式：___________________ (其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)它是展开式的第__________项．

自主练习

18x－1．二项式的展开式中的第6项为(

) x1111A．－28x

B．28x

C．－56x

D．56x

22222．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等于(

) A．(x－2)4

B．(x－1)4

C．x4

D．(x＋1)4

合作探究

课堂互动

题型一：二项式定理的展开式

143x＋例1：求的展开式

x

变式训练：1．

求x－14的展开式．并写出展开式的通项公式。

2x1[思路点拨]解答本题先将x看成a，－看成b，

2x

题型二：二项式定理的逆用：

23nn例2：化简：(1)1－2C1n＋4Cn－8Cn＋…＋(－2)Cn；

0n1nk(2)Cn(x＋1)n－C1＋…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)n(x＋1)n. －－[思路点拨]

(1)共有n＋1项，(－2)按升幂排列符合二项式定理形式．

(2)共有n＋1项，x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．

232nn1变式训练：2:设n∈N*，则C1＝________. n＋Cn6＋Cn6＋…＋Cn6－

课堂小结

（1）熟记二项式(a＋b)的展开式，在解决展开式问题的时候，有的时候先化简再展开显得更加简单，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便，若求其中的特定项可以直接用通项公式。

（2）如果一个多项式的各项是某式的连续乘方形式，这时应注意分析各项特点，研究系数nrr规律，与二项展开式的通项Tr＋1＝Crb作对比；向二项式展开式靠拢．

na－n当堂检测

1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(

)

A．9 B．10 C．11 D．8 2．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是(

) 666A．－27C610

B．27C10

C．－9C10

D．9C10

0n1n13.设n为自然数，化简Cn·2－Cn·2＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cnn·n.=________

－－31x4.写出的展开式的第r+1项；

32xn2b322思考题．(2014·高考山东卷)若ax＋的展开式中x项的系数为20，则a＋b的最小值x_____ 课后作业：三维设计检测优化卷P14题组（一）（二）

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