2.2.2 反证法教案教学设计导入设计

《间接证明》教案

知识背景：教材在紧接着直接证明开展了本节内容，实际是要求学生能够根据不同的题目类型采取不一样的证明方法。感受不同证明方法的逻辑性，体会逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，从而有助于发展学生的数学思维能力，形成理性思维和科学精神。

教材分析：历年高考中都要考察证明，以考察综合法为主，有时也考察到反证法，涉及立体几何，解析几何，不等式，方程等知识，因此把握好反证法这种证明方法的思考过程和步骤是关键。教材内容从定义——逻辑依据——证明步骤——例题分析。符合学生的学习习惯思维。

教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：理解反证法的思考过程、特点

教学难点：反证法的思考过程、特点

，归谬的过程

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学过程：

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1.情境设置

（1）古时候，王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

（2）2000多年前，亚里士多德认为：物体自由下落时，重的比轻的快。16世纪末，伽利略用下面的思想实验反驳了亚里士多得的结论。

假设亚里士多德的结论是正确的。现在有两个重量不同的物体A与B,A比B重。则A下落得比B快。如果把A和B栓一起（记为A+B），B会把A+B下落得速度拖慢。因此，A+B下落的速度应该比A慢。另一方面，因为A+B比B重，按照亚里士多德的理论，A+B的下落速度比A快。这样就产生了矛盾。因而亚里士多德的理论是错误的。

（以问题2为例）问题设置1：伽利略是怎样驳斥亚里士多德的论断的？

2.学生活动：

在长方体ABCDA1B1C1D1中，证明AC1与A1B1是异面直线

DC问题设置：请同学回忆一下异面直线的定义是什么？

分析：

由于定义所知证明异面直线需ABD1C1

A1B12

证明此两条直线不同在任何一个平面中，直接证明不可完成。

故正难则C1和直线A1B1的反：先假设AC1与A1B1共面，由于经过点平面只能有一个（即面A1B1C1D1）,所以直线AC1与A1B1都应在平面A1B1C1D1内，于是点A在平面A1B1C1D1内，这与点A 在平面A1B1C1D1外矛盾。因此，假设不成立，

AC1与A1B1是异面直线。

3.建构数学：（1）间接证明，（2）反证法：上述证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明。反证法是一种常用的间接证明的方法。

4.学生活动：讨论问题：

（1）

反证法可分为几个步骤？（反设，归谬，存真）

（2）

每个步骤在证明中起到了怎样的作用？

能给出反证法的证明过程示意图吗？（肯定条件p并否定结论q——导致逻辑矛盾——p且非q为假——若p则q为真）

（3）

你能举出一个可以用反证法证明命题的例子吗？

5.数学应用：

例1.证明：2不是有理数

证明：假设2是有理数，则可设2=，其中p,q为互素的整数——反设

两边平方变形得：2p2q2说明q2是2的倍数，从而q也必是2的倍数。这样又可以设q2l(lN*)

代入2p2q2整理后得

p22l2表明p2

是2的倍数从而p也必是2的倍数。这样，p,q都是2的倍数，

3 qp

他们有公约数2，这与p,q为互素的假设相矛盾。——归谬

假设不成立，原命题得证。——存真

例2求证：正弦函数没有比2小的正周期

证：假设T是正弦函数的周期，且0T2，则对任意实数x都有

sin(xT)sinx成立。令x0,得sinT0,即Tk,kZ.又0T2,故T从而对任意实数x都有sin(x)sinx,这与sin()sin矛盾。22

所以，假设不成立，正弦函数没有比2小的正周期

设计意图：通过这两个例题帮助学生总结一下三点：

1.要反证法证明的命题本身往往带有“没有、不是”等否定关键词。

2.反证法除了在步骤格式上严格要求外，真正的核心在于“归谬”。这也是反证法证明命题的难点。

3.“归谬”的常见几种形式：和定理、公理矛盾；和题目条件相矛盾；和假设相矛盾等。

6.回顾与小结：以问题的形式呈现

（1）怎样的证明方法叫间接证明？

（2）反证法与间接证明的关系？

（3）反证法的证明步骤是怎样的？

7.作业布置：课本P44习题2.2

A.3

B.2 8．板书设计：

2.2.2 间接证明

间接证明：

┅ 证明长方体┅ 例题反证

4

法：

反证法的步骤：┅

9.教学反思

这节课结合教材内容，教学目标以及学生认知水平，重在让学生了解间接证明中反证法的思想，所以就典型的例题分析再分析，本着重视探究、重视交流、重视过程的课改理念，让学生经历“创设情境——了解探究——归纳总结”的活动过程,体验参与数学知识的发生、发展过程

，培养“用数学”的意识和能力,成为知识的积极主动的建构者。

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