小结优质课教案内容

《高三总复习之简单的线性规划问题》教学设计

安顺市第一高级中学

杨洁

一、内容与内容解析

《简单线性规划》是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2的内容. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节课是一节高三的总复习课，利用例题复习了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单线性规划在实际生活中的应用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识. （二）教学目标解析

1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量(x,y)表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．

2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答. 3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法. 4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力. 三、教学问题诊断分析

本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：

（1）将实际问题抽象成线性规划问题；

（2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？

（3）数形结合思想的深入理解. 为此教学中我特意为学生创设探究情境，以华罗庚的话引入数形结合思想，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验. 教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解. 教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数

与直线方程的关系

四、教法分析

复习课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等. 本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法. （1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望； （2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. （3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；

（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程. 五、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，以多媒体PPT作为载体，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系． 六、教学过程

（一）

创设情境，激发探究欲望

以世界著名数学家华罗庚的话“数形结合百般好，隔裂分家万事休”引入数形结合思想。让学生了解到底什么是数形结合思想，它主要可以解决什么问题。

【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力. （二）独思共议，引导探究方法

针对高三同学已经学过了线性规划的相关知识，由浅入深，从二元一次不等式表示的平面区域，拓展到二元一次不等式组表示的平面区域，再到用表示的平面区域求目标函数的最大值最小值问题，再进一步解决实际生活中的问题。

一、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

例1、画出不等式 2x+y－6<0 表示的平面区域. 二、二元一次不等式组表示的平面区域

例2、画出不等式组 表示的平面区域.

x4y33x5y25三、二元一次不等式组表示的平面区域求函数最大值最小值的问题

x1例3、设z=2x+y ，式中的变量x、y满足下列条件：

求z的最大值和最小值。

【设计意图】由特殊到一般，由浅入深，利用数形结合，寻求解题思路. （三）变式思考，深化探究思路

练习1：求z＝2x+4y的最值,x,y满足约束条件

【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，提高课堂效率，建立精准的数形联系．

（四）规范格式，应用探究成果

练习2：众所周知，每年的农历九月九日是重阳节，被我国定为老人节，倡导全社会树立尊老、敬老、爱老、助老的风气。安顺一、二中两校组织学生参加敬老爱老活动。一中每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务，二中每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，两校都有学生参加，一中参加活动的学生比二中至少多一人，且两校学生往返总车费不超过45元。请问，如何安排两校参加活动的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？

师生活动：教师引领学生理解题意，让学生领会题意.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念. 【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建x4y33x5y25x1

模意识.同时进一步加深对图解法的认识. （五）归纳梳理，体会探究价值

解线性规划问题的步骤：

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（3）求：通过解方程组求出最优解；

（4）答：作出答案。 【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构. 师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了人员如何合理分配收获最大的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业. 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构. （六）

目标检测题

5x3y151．在线性约束条件yx1下，求①目标函数z3x5y的最大值和最x5y3小值；②目标函数z3x10y的最大值和最小值；

2．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？

【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平

台，这是本节内容的一个提高与拓展.