三 排序不等式教学活动设计方案

选修4-5 排序不等式

学习目标: 了解排序不等式的基本形式，掌握乱序和、反序和、顺序和的定义及基大小关系，通过排序不等式的“探究-猜想-检验-证明”过程体验研究数学问题的基本方法和基本过程。会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法. 教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 一、复习准备：

1. 提问：

前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）

1.设a1,a2,a3......an,b1,b2,b3......bn是实数，则(a1a2.......an)(b1b2......bn)①

(a1b1a2b2anbn)2

当且仅当bi0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得②

aikbi(i1,2,3...n)时等号成立. 2．二维形式的三角不等式：

设x1,y1,x2,y2R,那么：x1y122222222x2y2（x1x2)2(y1y2)2

22当且仅当x1kx2,y1ky2(k0)

时，等号成立。

3．二维形式的三角不等式：

设x1,y1,z1,x2,y2,z2R,那么：

x1y1z1x2y2z2（x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

当且仅当x1kx2,y1ky2,z1kz2(k0)时，等号成立。

设计意图：通过复习前面经典不等式，让学生明白排序不等式也是经典不等式，它的规律简明，容易记忆，为学习排序不等式作出示范。

一、

新课学习：

222222设aiR(i1,2,,n),bjR(j1,2,,n),且a1a2an,b1b2bn，c1,c2,cn是b1,b2,bn任一个排列，则Sa1c1a2c2①我们把Sa1c1a2c2ancn. ancn叫做数组(a1,a2,,an),(b1,b2,bn)的乱序和；

anbn叫做数组(a1,a2,,an),(b1,b2,bn)的顺序和；

anb1叫做数组(a1,a2,,an),(b1,b2,bn)的反序1 ②我们把S2a1b1a2b2a3b3③我们把S1a1bna2bn1a3bn2

和；

问：什么情况下S取得最大小？什么情况下S取得最小？

思考1：已知两组数1，2，3和4,5,6,若c1,c2,c3是4，5，6的一个排列，则1c12c23c3的最大值是_____,最小值是_____.

如果数大一点呢? 思考2：已知两组数1，2，3和45,25,30,若c1,c2,c3是45，25，30的一个排列，则1c12c23c3的最大值是_____,最小值是_____.

设计意图：通过上述两个事例，使学生体会数学学习的基本方法：“探究—猜想—检验—证明”，培养由特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力。

猜想：设aiR(i1,2,,n),bjR(j1,2,,n),且a1a2an,b1b2bn，c1,c2,cn是b1,b2,bn任一个排列，则Sa1c1a2c2猜想结论：

ancn. 反序和乱序和顺序和 即 S1SS2

设计意图：通过微视频的学习，对排序不等式的证明，重点要放在使学生认识基本证明思路上——通过逐步调整比较法，一步一步地接近目标，如此继续下去最终可以得到相应的大小关系。

2

证明：设a1a2an,b1b2bn为两组实数，c1,c2,cn是b1,b2,bn任一个排列，则Sa1c1a2c2ancn①，b1,b2,bn的排列只有n!个，所以S的取值最多只有n!个，其中必有最大值。当c1b1时，必存在ckb1，

设S'a1ckakc1ancn②

②−①得：

S′−S=a1ckakc1a1c1akck(aka1)(c1ck)0

这说明将①式中的第一项调换为a1b1后和式不减小. 若c1b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.. 类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为a1b1，第二项调换为a2b2后和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小到大排序的情况，即SS2

同样可以证明，最小和数是反序和，即S1S. ∴S1SS2. 至此我们证明了前面的猜想是正确的. 定理(排序不等式或称排序原理)

设a1a2an,b1b2bn为两组实数，c1,c2cn是b1,b2,bn任一个排列,则a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...anbna1b1a2b2...anbn，当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和=顺序和. 10)个人的水桶需要ti分，假例1．有10人各拿一只水桶接水，设水龙头注满第i(i1,2,...,定这些ti各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

解：等待总时间是：S10t19t22t9t10

∵12910

根据排序不等式，当t1t2t9t10时，总时间取最小值

设计意图：对于实际问题，关键是正确建立数学模型，即把问题数学化，使实际问题转化

3

为数学问题，抓住问题中的关键词“等候的总时间”。

例2．设a1,a2,,an是互不相同的正整数，求证：1ana11a12.

2n22n2证明:取两组数(1,设b1,b2,b3,∵111,,2232,1)与（a1,a2,a3,…,an）

n2,bn是a1,a2,a3,…,an的一个排列,且b1b2b3bn

1，由排序不等式得

2nbn. n2112223a1a2a32232anb2b3b≥n212232∵a1,a2,…,an是n个互不相同的正整数, ∴b1,b2,…,bn是n个互不相同的正整数,∵b1b2b3bn

∴bi≥i(i1,2,3,,n)∴b1b2b32232an

2nbn111≥n2231

n∴11123a3a1≤a1222n23设计意图：如何应用排序不等式作出示范，即应用排序不等式证明不等式. 三．课堂小结：

①

；

②

；

③

. :课本四．作业布置：作业

P45第1,2题.

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