1.3 二项式定理（通用）教案评析

1.3.1

二项式定理(一)

一、教学目标

1、理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

2、理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

3、能够利用二项式定理进行二项式展开，

能够区分二项式系数与项的系数，并能求出指定项。

二、教学重点：利用计数原理分析得到二项式定理，掌握二项展开式的通项公式，能应用它解决一些简单问题。

三、教学难点：用计数原理证明二项式定理

四、教学过程

（一）提出问题

1.在n=1, 2,

3时，写出并研究(a+b)n的展开式.

(a+b)1=

,

(a+b)2=

,

(a+b)3=

,

2.那么n=4时呢？即：

(a+b)4=

（二）情景引入

一

二

三

四

『问题1』：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中1

取一个球，有多少不同的结果？

（三）实验猜想

【问题2】

(a+b)4展开有哪些项？各项的系数是什么？

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

结果：

(ab)4C0a4C1a3bC2a2b2C3ab3C4b444444（四）归纳提高

将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？

对于(a+b)n=(a+b)(a+b)·

···

·

(a+b)(a+b)的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中,恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数(a+b)n . 那么,我们如何写出(a+b)n的展开式？

总结特征得到：

n1n1rnrrnn(ab)nC0aCabCabCnnnnb（五）发现规律

1.

二项式定理：

n1n1rnrrnn(ab)nC0aCabCabCnnnnb这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做

(a+b)nr

0,1,2,的___________, 其中

C

r

,

n

)

叫做_________________,

n

(Cnab叫做二项展开式的通项,通项是指展开式的第

r+1

_________ 项，展开式共有

n+1 项.

2. 二项式定理(公式)的特点

n1n1rnrrnn(ab)nC0aCabCabCnnnnbrnrr12n,C,C,,C（1）.系数规律：

C0nnnn2

（2）.指数规律：

①各项的次数均为n；

②其中每一项中a的次数由n降到0, b次数由0升到n.

（3）.项数规律：二项和的n次幂的展开式共有n+1个项.

（4）.展开式中的每一项都来自于

n 个括号的各个括号.

（5）.注意区别二项式系数与项的系数的概念

①二项式系数为

Crn(r0,1,2,,n)②项的系数为：二项式系数与数字系数的积.

（六）例题讲解

16例1．求(2x)的展开式. x

练一练

3

14求(3x)的展开式. x例2．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

（2）求(x1)的展开式中x的系数. 93

x

课堂练习

求(2a3b)6的展开式的第3项. 1.

2.(x1)10的展开式的第6项的系数是（

）

练一练

n1n1rrnr【引申1】C0

(x1)C(x1)(1)C(x1)nnn6A.C106B．C105C．C105

D．C10

(1)nCnn________.

【引申2】(x1)(2x1)(3x1)(nx1)的展开式中含

x

项的系数为_____________.

（七）课堂小结

1.掌握二项式定理中二项展开式及通项的特征

n1n1nrrnn

(ab)C0bCrbCnbnaCnanan

nrrTr1Crabn2.区别二项式系数，项的系数

3.掌握用二项式定理的正用、逆用以及变形应用

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