1.3 二项式定理（通用）教案2

〖课题〗

二项式定理

授课班级：高二（4）班

授课教师：黄伟藩

授课时间：2007年5月22日

教学目的：1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.

2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.

教学重点：用计数原理分析(a+b)2的展开式，得到二项式定理；通项公式的应用. 教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各系数的规律

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体

教学过程：

一.导入新课

二项式定理研究的是(a+b)n的展开式.那么(a+b)n的展开式是什么呢？我们在计数原理这一掌来学习它，说明它的展开式与分类加法计数原理、分步乘法计数原理及排列、组合的知识有关.那么，如何把二项展开式与这些知识联系起来呢？下面进行学习

二.讲授新课

【探究1】如何利用两个计数原理得到(ab), (ab), (ab)的展开式？你能由此猜想一下(ab)的展开式是什么吗？

在初中，我们用多项式乘法法则得到了(ab)的展开式：

(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb

=a+2ab+b

22234n2从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是由分步计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2×2=22项，而且每一项都是a2kkb(k=0 , 1 , 2)的形式. 2kkb的同类项的个数.

2下面分析一下形如a

当k＝0时，a2kbk＝a，是由2个(a+b)中都不选b得到的，相当于从2个(a+b)02中取0个b(即都取a)的组合数C2,因此a只有一个；

当k＝1时，a2kbk＝ab，是由一个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b得到的.由第

1 页

共

5 页

于b选定后，a的选法也随之确定，因此ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数，即ab共有C2个;

当k＝2时，a2k1bk＝b，是由2个(a+b)中都选b得到的，相当于从2个(a+b)22中取2个b的组合数C2,因此b只有1个.由上述分析可得到

(a+b)2＝C2012a2+C2ab+C22b

2【探究2】你能仿照上述过程，自己推导出(a+b)3

，(a+b)4的展开式吗？

(a+b)3＝C3012a+C3ab+C32ab2+C33b3

4133(a+b)4＝C4a+C4a0b1+C42a2b2+C43a1b3C44b4

从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数n我们有如下猜想：

1n11(ab)n=Cn0an+Cnab+…+Cnkankbk+…+Cnnbn(n∈N*) 下面证明这个猜想. 证明：由于(ab)是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)的a或b都选定后，才能得到展开式的一项，因此由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(ab)的展开式共有2项，其中每一项都是a1，…，n)的形式.

对于某个k(k∈{0，1，2，…，n}) ,对应的项ankkk个(a+b)b是由n-k个(a+b)中选a，nkkb出现的次数相当于从nnkkb共有Cnk个，将它nnnnkkb(k＝0，中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此akn个(a+b)中取k个b的组合数Cn，这样，(ab)的展开式中，a们合并同类项，就可以得到二项展开式：

1n11(ab)n=Cn0an+Cnab+…+Cnkankbk+…+Cnnbn(n∈N*) 上述公式叫做二项式定理.其中的Cna项为展开式的第k+1项：Tk1＝Cnaknkknkbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即通bk

在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式：

(1x)n＝Cn0+Cnx+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn

对二项式定理的认识：

①

它有n+1项

；

②

各项的次数都等于二项式的次数n ;

第

2 页

共

5 页

1

③

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n;

④

二项展开式中，系数Cn(k=0,1,2,

…, n)叫做二项式系数，它们依次为kCn0,Cn,Cn2,…,Cnn

【讲解例题】例1求下列各式的展开式：

①(1x)

；

②求(2x501221516)的展开式

x334455解: ①(1x)=C5+C5x+C5xC5xC5xC5x

=1+5x+10x+10x+5x+x

②先将原式化简，再展开，得

(2x161)3(2x1)6

xx2345＝10615243342516[-+-+-+] C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C36666666x60121．

xx2x364x3192x2240x160【练习1】写出(p+q)5和(1)的展开式；

例2 ①求(12x)的展开式的第4项的系数；

71x4②求(x)的展开式中x的系数.

解：①(12x)的展开式的第4项是T31＝C71 ＝C723373731x93(2x)3

x3

3＝35×8x

＝280x

3所以展开式第四项的系数是280.

②(x19)的展开式的通项是

x1rr9rTr1＝C9x()＝(1)rC9rx92r

x根据题意，得9-2r=3, ∴r=3 因此，x的系数是(1)C9=-84

333第

3 页

共

5 页

【练习2】①

求(2a+3b)6的展开式的第3项; ②写出(3x10123x)的展开式的第r+1项；

n③(x1)的展开式的第6项的系数是(

) A.C10

B.C10

C.C10

D.C10

④

求(xa)12的展开式中的倒数第4项

6655三.【小结】：二项式定理的特点：

①

它有n+1项

；

②

各项的次数都等于二项式的次数n ;

③

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n; ④

二项展开式中，系数Cn(k=0,1,2,

…, n)叫做二项式系数，它们依次为kCn0,Cn,Cn2,…,Cnn

1四.【布置作业】P43 2.(2) 4.(1)、 (4)

【练习1】答案：

14(pq)5＝C50p5C5pqC52p3q2C53p2q3C54pq4C55q5

＝p55p4q10p3q210p2q35pq4q5

111111(1)4C40C4()C42()2C43()3C44()4

xxxxx＝1【练习2】答案：

①T21C6(2a)26242(3b)2＝2160ab

r464134

2xxxxn2r1r(1)r3r3nr②Tr1=Cn(x)()＝rCnx

322x第

4 页

共

5 页

③

D

T51=C10x510555(1)5=-C10x

④解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

第

5 页

共

5 页