信息技术应用 估计√2的值教学评价实录

2.3.1等差数列的前n项和（一）

曾德容

【教学目标】

知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．

过程与方法：会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

情感态度与价值观：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思

【教学重难点】

教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

内容分析：

本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法

【教学过程】

一、预习案点评

二、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等差数列的定义：

an－an1=d ，（n≥2，n∈N）

2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或an=pn+q (p、q是常数)) 3．几种计算公差d的方法：

ana1anamaa① d=n－n1

② d=n1

③ d=nm A4．等差中项：aba,b,2成等差数列

aanapaq5．等差数列的性质：

m+n=p+q m

(m, n, p, q ∈N ) 6．数列的前n项和：

数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记Sn. “小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法

二、讲解新课：

如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？

这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 1．等差数列的前n项和公式1：Sn证明：

n(a1an)

2Sna1a2a3an1an

①

Snanan1an2a2a1

②

2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

①+②：

∵

∴a1ana2an1a3an2

2Snn(a1an)

由此得：Sn(a1an)

n2

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

2．

等差数列的前n项和公式2：Snna1

用上述公式要求

但n(n1)d

2Sn必须具备三个条件：n,a1,an

ana1(n1)d

代入公式1即得：Snan(n1)d

n12n,a1,d

（有时比较有用）

此公式要求Sn必须已知三个条件：

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知公式二又可化成式子：

n,a1,d,an中三个

Snd2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

22三、例题讲解

例1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn

(1)a1=5,

an=95,

n=10 (2) a1=100,

d=－2,

n=50 (3) a1=14.5,

d=0.7,

an=32 例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？

解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为sn

则

a110,d(6)(10)4,Sn54

10nn(n1)4542

（舍去）

由公式可得解之得：n19,n23∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.

例3等差数列{an}中，已知an=－10,

sn=－360, d=2, 求a1

, n. 解:由条件a1＋2(n－1)=－10,n(a110)2=－360 a1n2=－2n－8

＋

9n－360=0

n=15或n=－24,

a1

=－38例4在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和．

分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求质求解．

a1，d求解；也可以用等差数列的性2019d2

解：法一

由a6a9a12a154a138d34.由S2020a120a1190d5(4a138d)534170

法二

由S20(a1a20)2010(a1a20)aa15a9a12a1a20，所以2，而6a1a2017，所以a201017170

小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用amanapaq(mnpq)这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．

预备例题：一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n. n(n1)2

解：由(n－2)·180＝100n＋×10，

求得n－17n＋72＝0,

n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

四．巩固练习

1．求集合2的元素个数，并求这些元素的和

Mm|m7n,nN*且m100

解：由7n100得

n10021477

∴正整数n共有14个，即M中共有14个元素

即：7，14，21，…，98 ，是以7为

首项，98为末项的等差数列。

∴

Sn14(798)7352

答：略

2. 在等差数列an中，若a1a4a8a12a15,则S15

3．等差数列an的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，

请填写下表：

a1

5

-38

4.在等差数列an中，10 -2

d

10 8

n

-10 an

104 Sn

-360 a40.8，a112.2，求a51a52a80.

五、小结

本节课学习了以下内容：

n(a1an)

2n(n1)d2.等差数列的前n项和公式2：Snna1

2d2d3. Snn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

221.等差数列的前n项和公式1：Sn

六、课后作业：

课时练

板书设计

作业布置

教后反思

导学案

课后练习与提高