3.1.2 复数的几何意义教学设计案例

3.1.2 复数的几何意义

学情分析：

学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了. 教学目标：

（1）知识与技能：

了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；

（2）过程与方法：

在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；

（3）情感态度与价值观：

培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

教学重点：

复数的代数形式和复数的向量表示. 教学难点：

复数的向量表示. 一、复习回顾：

（1）复数集是实数集与虚数集的 （2）实数集与纯虚数集的交集是 （3）纯虚数集是虚数集的 （4）设复数集C为全集，那么实数集的补集是 （5）a,b,c,dR,abicdi （6）a0是Zabi(a,bR)为纯虚数的 条件

二、问题引入：

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？

问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数abi都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定，而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一

一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？

问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点0为起点、

A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？

问题3 我们知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度.相应地,我们可以给出复数的模(或绝对值）的概念吗？ 向量OZ的模叫做复数Zabi的模（或绝对值），记作Z或abi。由模的定义可知Zabia2b2。

三、师生共同活动：

1．在平面直角坐标系xOy中，以复数zabi的实部a为横坐标、虚部b为纵坐标就确定了点Z(a,b)，我们可以用点Z(a,b)来表示复数zabi，这就是复数的几何意义。

2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

3．因为复平面内的点Z(a,b)与以原点0为起点、Z为终点的向量OZ一一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ来表示复数zabi，这也是复数的几何意义。

yZ:a+biOx

4．

根据上面的讨论，我们可以得到复数zabi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系（见下图）。今后，常把复数zabi说成点Z或向量OZ（并且规定相等的向量表示同一个复数）。

复数

zabi

一一对应

复平面内

的点

一一对应

平面向量OZZ(a,b)一一对应

5．相对于复数的代数形式zabi，我们把点Z(a,b)称为复数z的几何形式，向量OZ称为复数z的向量形式。并且规定，相等的向量表示同一个复数。

四、学生活动：

1、阅读课本相关内容，并完成下面题目：

（1）、复数Zabi(a,bR)与有序实数对(a,b)是 的

（2）、 叫做复平面， x轴叫做 ，y轴叫

做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表

示 （3）、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数 复平面内的点 平面向量 （4）、复数Zabi(a,bR)的模 2、学生分组讨论：

（1）复数与从原点出发的向量的是如何对应的？

（2）复数的几何意义你是怎样理解的？

（3）复数的模与向量的模有什么联系？

五、应用举例：

运用1 例1.填空: （1）复平面内的原点(0,0)表示的数是 ;

（2）实轴上的点(2,0)表示的数是 ； （3）虚轴上的点(0,-1)表示的数是 ; （4）点(-2,3)表示的数是 .

练习：

在复平面内，描出下列各复数的点：

（1）

2+5i; （2）32i;（3）24i;(4) 3i;(5) 5;(6) 3i

22一一对应一一对应

例2 .实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m8m15)(m5m14)i的点

（1）位于第四象限？ （2）位于第一、三象限？

（3）位于直线yx上？

例3. 分别求出下列复数的模： (1) 1i;(2) 23i;(3) 4i;(4) 6.

例4.求复数z1134i及z22i的模，

并比较它们的模的大小。 2六、课堂小结：

1.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即

复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z（a，b）

2.复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即

复数z＝a＋bi复平面内的向量OZ

3.复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）和向量是一个三角对应关系，即

一一对应一一对应复数

zabi

一一对应

复平面内

的点

一一对应

平面向量OZZ(a,b)一一对应

a2b2

4.复数Zabi(a,bR)的模Z七、作业：P1，2，5

55习题3.1A组