2.2.1 综合法和分析法优秀教学设计

2,

2.1综合法与分析法

一.教材分析

《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题.本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤.本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子. 二.教学目标

1.知识与技能目标

了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法. 了解分析法和综合法的思维过程和特点. 2.过程与方法目标

通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力. 通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力. 3.情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中

的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力. 三.重点难点: 重点：分析法和综合法的思维过程及特点. 难点：分析法和综合法的应用. 教学过程

一.创设情境、引入新课

提出问题h前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什么？

活动设计：学生思考并举手回答，教师提问. 活动成果：前面己经学习了合情推理和演绎推理. 合情推理是提出新问题、获得新知识的主要推理方式，特点是结论不一定可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论一定正确. 提出问题2:使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？

活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法. 提出问题3:我们先来看看我们己经证明过的两个问题，试找出证明过程的差异. 从而引出单元标题《直接证明与间接证明》. 二.探究新知

理解新知

1.己知

a>0，b>0，求证：a(b2+c2)+b(a2+c2) ≥4abc. 活动设计：学生到黑板板演. 活动成果：

证明:因为(b-c)2 ≥0, b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 提出问题1:再来看第一个小题，试总结证明过程的特点. 活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答. 活动成果：证明过程是从原因推导到结果. 提出问题2:我们把这种证明方法叫做综合法，请同学们试给综合法下个较为准确的定义. 活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义. 活动成果：从原因推导到结果的思维方法叫综合法(又叫顺推法). 提出问题3:如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把综合法的证明过程用符号语言表示出来. 活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答. 活动成果：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

提出问题4:你能用更简练的语言概括综合法的特点吗？

活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点. 活动成果：综合法的特点：由因导果. 1、综合法：

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法

特点：由因导果

提出问题2:

求证:证:若证只需证:整理得:即证:

当然成立

和都是正数,

. 原不等式成立

活动设计：先独立思考，后小组交流. 活动成果：

提出问题3:你得到什么启示？

活动设计：请几个同学总结，教师补充. 活动成果：1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。

特点：执果索因.

用框图表示分析法的思考过程、特点.

提出问题

4:你能用更简练的语言概括分析法的特点吗？

活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点. 活动成果：分析法的特点：执果索因. 理解新知

提出问题：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点. 活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点. 活动成果：综合法“由因导果”，宜于表达；分析法“执果索因”，利于思考

提出问题：从证明过程中，你得到什么启示？

活动设计：请几个同学总结，教师补充. 活动成果：在证明过程中，分析法和综合法可以综合使用. 应用新知

题型一

综合法的应用

已知证明：∵,求证:, . ∴又因为∴即∴, ,,, , ,

∴.

名师点评】

综合法证明问题的步骤： 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法． 第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 题型一

分析法的应用

设a,b是实数,求证:. 证明:要证:只需要证只需要证只需要证明因为a,b是实数, 所以, , , , , 故成立

平时练习时，这一步你想到、做到了吗？ 【点评】

应用分析法证明问题的模式 (若p则q形式)如下： 为了证明命题q为真， 只需证命题p1为真，从而有…… 只需证命题p2为真，从而有…… …… 只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为真．

拓展提高:当x≥4时，证明：

-＜-.

课堂小结

方法技巧

分析法与综合法的优缺点

综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点． 分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁； 综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考． 实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．

失误防范 1.利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏．另外，要注重对已知条件的分析、利用．

2.用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知…，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．

1.本节课所学的知识结构：

[直接证明] 综合法 分析法

由因导果，易于表达 执果索因，利于思考。

2.我的收获：证明的严谨性，团队合作的精神. 布置作业

1.

必做题：教材习题2.2

A 组

2 、

3 题

. 2.

选做题：教材习题2.2

B组

2 、

3 题

.