小结教案和学案内容

《基本不等式》教学设计

一、

[教材依据] 人教A版

必修5

第三章

不等式

3.4 基本不等式

二、

[设计思想] 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

三、

[教学目标] 依据《新标准》对《不等式》学段的目标要求和本班学生实际情况，特确定如下目标：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

四、 [教学重点] 1

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ab及应用。

ab的证明过程2五、 [教学难点] 1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

六、 [教学方法]

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

基本不等式：ab≤ab简要教学思路

2

【学习目标】

１.

知识与技能

（1）

了解基本不等式的证明过程。

（2）

会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

2．过程与方法

探索并了解基本不等式的证明过程，体验基本不等式在实际中的应用。

3．情感、态度与价值观

通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。

【学习重点】

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

【学习难点】

用基本不等式求最大值和最小值。

【知识结构】

基本不等式的几何背景

︱

ab基本不等式：ab≤

2 ︱ ︱

基本不等式的证明过程

基本不等式的应用

【学习过程】

D 引入

a2b2探究1

在正方形ABCD中有4个全等的

a 直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为

F b G a、b,那么

H E ①正方形ABCD的面积S= A 2

②4个全等的直角三角形的面积S′= ③S与S′的大小关系为 新课

一、基本不等式的探究

B 根据探究1得到

1、重要不等式

说明：

2、基本不等式

（＊）

说明：

你能根据不等式的性质分析推导出（＊）式吗？

abab

①

要证

2只要证

ab

②

要证②，只要证

ab

0 ③

要证③,只要证 ( - )2

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立

领悟练习：

七、 [教学过程] 教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

一、

创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:

一、自学质疑，交流展示

【探究】：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的古代数学颜色的明“风车”抽

会标，会标是根据中国家赵爽的弦图设计的，暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。现将图中的象成下图，

3

问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？

22利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab

问题2、上式能否取到等号？什么时候取等号？

当且仅当a＝b时，等号成立

问题4、你能给出证明吗？

抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

问题3、上式中a,b的范围能扩大吗?

对于任意实数a,b，有a2b22ab

问题5、如果用a,b去替换上述结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件？

问题6、替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？

问题7、你能给出证明吗？

要证abab

①

2只要证ab

②

要证②,只要证ab

0

③

要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立

。

（告诉学生，这种证明方法称之为分析法，在我们高三的时候会适当的加深补充）

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

22本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab。在4

此基础上，引导学生认识基本不等式。

通过ppt课件，让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问] 你能给出它的证明吗？

学生在黑板上板书。

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

答案：

abab(a,b0)。

2【归纳总结】

若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22ab称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何2我们称此不等式为基本不等式。

其中平均数。

二、把握关键，突出主题

基本不等式：

问题8、上述公式主要用于解决最值问题，你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题？

问题9、在求最值的过程中需要满足什么条件？

[问]

怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即ababab；

2仅当a=b时，取等号，即ab4、探究基本不等式证明方法：

abab。

25

[问] 如何证明基本不等式？

（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华）

2(ab)0展开证明。

方法一：作差比较或由

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，心理学研究表明：任何学习都是学习者自主建构的过程.在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用.有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构.前者的认知机制是同化，它引起认知结构的量变；后者的认知机制是顺应，它引起认知结构的质变.既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合.所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

要证abab

①

2只要证ab

②

要证②,只要证ab

0

③

要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立

。

（告诉学生，这种证明方法称之为分析法，在我们高三的时候会适当的加深补充）

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法. 5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式ababab(a,b0)ab(a,b0)22的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

三、探究归纳

下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b，均有ab2ab；

②当x0时，由于1x22x，当且仅当1x2时，即x=1时，等号成立。所以函数y1x2(x0)的最小值为2；

π4π4(0,)的最小值为4。

sinx4x(0,)ysinx③当时，有；所以函数在2sinx2sinx引入闯关游戏

6

分层完成，小组讨论，使学生体会概念应用模式，学会捕捉解题切入点，理解利用基本不等式求最值的条件“正”、“定”和“等”。5分钟

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式abab成立的条件a0,b0，及当且仅当ab时，2等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

四、领悟练习：

公式应用之一：

(1)若x0,x1的最小值为________,此时x_________.（学生指出正、定、等）

x(1)

若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。（学生指出正、定、等）

(2)

公式应用之二：（最优化问题）

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)

在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

学生分组讨论、纠正、争辩，合作交流。引导学生体会基本不等式的正用和逆用，量化赋分。

7分钟

7

五、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平. 老师根据情况完善如下：

一个不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

六、布置作业：课本P100习题A组1、2题

七、课下思考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

八、[教学反思] 我校教学指导方针为：“低起点，高观点，高目标”。

新课程标准中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的探究能力。

在证明基本不等式时，

x2y2xy22一般方法：x，y∈R，(x－y)0, 当且仅当x=y时，等号成立。

abx2y2abab2xy2令

x=, y=,

所以

,当且仅当a=b时，等号成立。

接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。

证法2：当a>0,b>0时，有(a－b)20 a2+b22ab 2

(a+b)

4ab 

a+b－２ab(舍去)或

a+b２ab

abab2

当且仅当a=b时，等号成立

2证法3：当a>0,b>0时，(a—b)0

a+b－２ab0 8

abab2

当且仅当a=b时，等号成立

这样学生通过多种证法对基本不等式应有更深刻的理解。

本节课强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性。让学生真正参与其中；对整个基本不等式的来龙去脉包括对基本不等式语言叙述、符号表示、证明、几何解释与学生一起经历，使学生不仅知其然，而且还知其所以然。本节课的密度强，但是适合我校学生数学学习特点的。

9